Questão 17 (Nível 2) da OBMEP 2014

Resolução comentada

Seja a, b, c, d a quantidade de moedas de 1, 10, 25 e 50 centavos. Queremos o maior total sem que nenhuma combinação dê 100 centavos.

1. Com duas moedas de 50 já se faz 100. Logo d=1.
2. Com d=1, se houvesse duas de 25 teríamos 50+25+25=100. Logo c=1.
3. Ficam as moedas de 10 e de 1. Com as de 50 e 25 em mãos, não pode ser possível formar com elas os valores 25 (com 50 e 25), 50 (com a de 50), 75 (com a de 25) nem 100.

Caso b\ge 2 e a\ge 5: formamos 2\cdot10+5=25, e então 50+25+25=100. Proibido.

Caso b\ge 5: formamos 50 só com moedas de 10, e então 50+50=100. Proibido.

Para b\ge2 é preciso então a\le4 e b\le4. O melhor é b=4 e a=4. Com isso, as moedas de 10 e 1 formam no máximo 44, e nenhum dos valores 25, 50, 75 ou 100 pode ser montado. Total: 50+25+40+4=119 centavos.

Caso b=1: pode-se ter a até 14, pois com a=15 forma-se 10+15=25. O total seria 50+25+10+14=99, menor que 119.

O maior valor é 119 centavos, ou seja, 1 real e 19 centavos.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AÉ um valor possível, mas não o máximo; ignora que dá para ter 4 moedas de 10 e 4 de 1.
• BValor que não vem de nenhuma configuração ótima; erra a contagem das moedas de 10 e de 1.
• DExigiria, por exemplo, 5 moedas de 10 ou 5 ou mais de 1 com 2 de 10, o que permite formar 100.
• EExigiria mais moedas de 50 ou de 25, e com duas de 50 ou duas de 25 (com a de 50) já se forma 1 real.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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