Questão 17 (Nível 3) da OBMEP 2014

Question

Mônica tem três dados nos quais a soma dos números em faces opostas é sempre 7. Ela enfileira os dados de modo que as faces em contato tenham o mesmo número, obtendo um número de três algarismos nas faces superiores. Por exemplo, o número 436 pode ser obtido como mostrado na figura; já o número 635 não pode ser obtido. Quantos números diferentes ela pode obter?

Três dados vermelhos enfileirados: o primeiro dado à esquerda tem 4 na face superior, 1 na frontal e 2 na lateral direita; o dado do meio tem 3 na face superior, 2 na lateral esquerda e 1 na frontal; o terceiro dado tem 6 na face superior e 5 na frontal.

A
72
B
96
C
168
D
192
E
216

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 17 (Nível 3) da OBMEP 2014

Nível 3 · Matemática: Princípio fundamental da contagem

Mônica tem três dados nos quais a soma dos números em faces opostas é sempre 7. Ela enfileira os dados de modo que as faces em contato tenham o mesmo número, obtendo um número de três algarismos nas faces superiores. Por exemplo, o número 436 pode ser obtido como mostrado na figura; já o número 635 não pode ser obtido. Quantos números diferentes ela pode obter?

Três dados vermelhos enfileirados: o primeiro dado à esquerda tem 4 na face superior, 1 na frontal e 2 na lateral direita; o dado do meio tem 3 na face superior, 2 na lateral esquerda e 1 na frontal; o terceiro dado tem 6 na face superior e 5 na frontal.

A
72
B
96
C
168
D
192
E
216

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Como as faces opostas somam 7, as faces podem ser divididas em três duplas: \{1,6\}, \{2,5\} e \{3,4\}.
Vamos considerar três casos:
a) Os algarismos que aparecem no topo dos três dados são todos da mesma dupla.
Neste caso, a dupla \{1,6\} gera 2 \times 2 \times 2 = 8 números diferentes: 111, 116, 161, 611, 661, 616, 166 e 666. Analogamente, a dupla \{2,5\} gera outras oito possibilidades e a dupla \{3,4\} mais oito. Assim, neste primeiro caso temos um total de 24 possibilidades.
b) Dois dos algarismos do topo pertencem a uma dupla e o outro pertence a uma dupla diferente.

Em dois dados aparecem algarismos da dupla:	No outro dado aparece algarismo da dupla:
\{1,6\}	\{2,5\}
\{1,6\}	\{3,4\}
\{2,5\}	\{1,6\}
\{2,5\}	\{3,4\}
\{3,4\}	\{1,6\}
\{3,4\}	\{2,5\}

Pensemos nas possibilidades de formação de números em cada uma das linhas da tabela acima; por exemplo, no caso em que 1 ou 6 aparece no topo de dois dados e no outro dado aparece 2 ou 5, teremos 3 \times 2 \times 2 \times 2 = 24 possibilidades (a saber: 112, 121, 211, 115, 151, 511, 162, 126, 216, ... , 566). Analogamente, cada um dos casos apresentados nas linhas da tabela produzirão 24 números diferentes.
No total, neste caso teremos 6 \times 24 = 144 possibilidades.
c) Os três números que aparecem no topo dos dados são provenientes de números de duplas diferentes. Este caso nunca ocorre, pois é impossível enfileirar os dados de modo que as faces em contato tenham o mesmo número.
Logo, podemos obter 24 + 144 = 168 números diferentes.

Outra solução, utilizando o complementar: já que o caso c) não ocorre, basta descontar do total de números obtidos sem restrições de contato (6 \times 6 \times 6 = 216) os números obtidos que utilizam algarismos das três duplas. Para formar números utilizando algarismos das três duplas, temos 6 escolhas para o primeiro dado (números das 3 duplas), 4 escolhas para o segundo dado (números de duas duplas) e 2 escolhas para o terceiro dado (números de uma dupla). Logo, existem 6 \times 4 \times 2 = 48 números no caso c). Consequentemente, Mônica pode obter 216 - 48 = 168 números.

Uma terceira solução é a seguinte: podemos considerar inicialmente três casos:
a) As faces 1 e 6 (ou 6 e 1) estão em contato. Os algarismos que podem aparecer no topo de um dado pertencem ao conjunto \{2, 3, 4, 5\}. Neste caso, no topo dos três dados, podem aparecer 4 \times 4 \times 4 = 64 números diferentes.
b) As faces 2 e 5 (ou 5 e 2) estão em contato. Os algarismos que podem aparecer no topo de um dado pertencem ao conjunto \{1, 3, 4, 6\}. Analogamente neste caso, no topo dos três dados, podem aparecer 4 \times 4 \times 4 = 64 números diferentes. Entretanto, eles não precisam ser diferentes dos números encontrados no caso a).
c) As faces 3 e 4 (ou 4 e 3) estão em contato. Os algarismos que podem aparecer no topo de um dado pertencem ao conjunto \{1, 2, 5, 6\}. Como nos casos anteriores, no topo dos três dados, podem aparecer 4 \times 4 \times 4 = 64 números diferentes. Entretanto, eles não precisam ser diferentes dos números encontrados no caso a) ou no caso b).
Os três casos juntos produzem 3 \times 64 = 192 números, porém nem todos distintos. Precisamos retirar desta contagem os números comuns aos casos a) e b), b) e c) e a) e c). Não há algarismos comuns aos três casos.
Como \{2, 3, 4, 5\} \cap \{1, 3, 4, 6\} = \{3, 4\}, os algarismos comuns aos casos a) e b) produzirão números (no topo dos três dados) em que só aparecem os algarismos 3 e 4. A quantidade de tais números é 2 \times 2 \times 2 = 8.
Analogamente, como \{2, 3, 4, 5\} \cap \{1, 2, 5, 6\} = \{2, 5\}, os algarismos comuns aos casos a) e c) produzirão números (no topo dos três dados) em que só aparecem os algarismos 2 e 5. A quantidade de tais números é 2 \times 2 \times 2 = 8.
Do mesmo modo, como \{1, 3, 4, 6\} \cap \{1, 2, 5, 6\} = \{1, 6\}, os algarismos comuns aos casos b) e c) produzirão números (no topo dos três dados) em que só aparecem os algarismos 2 e 5. A quantidade de tais números é 2 \times 2 \times 2 = 8.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

Cada dado tem 3 pares de faces opostas: \{1,6\}, \{2,5\} e \{3,4\}. A face superior e a inferior de um dado são opostas, e as faces laterais esquerda e direita também.

No exemplo 436: o primeiro dado tem 2 na lateral direita, então o segundo tem 2 na esquerda. Como o segundo dado tem 2 na esquerda, o 5 fica na direita, e o terceiro dado tem 5 na esquerda. O 6 em cima do terceiro dado é compatível com isso, pois 5 e 6 não são opostos. O 635 não pode ser obtido porque o 5 no terceiro dado já força o 2 na esquerda dele, e o 3 do segundo dado não... (aqui a conta geral resolve).

Contagem geral:

Primeiro dado: o número de cima pode ser qualquer um dos 6 valores.
Segundo dado: para o número de cima b, a face de contato com o primeiro dado, chamada x, não pode ser b nem 7-b. Mas x vem do primeiro dado, cujo eixo esquerda-direita também deve evitar o eixo vertical. Então a escolha de x é uma das 4 faces laterais do primeiro dado, e para cada x o dado seguinte precisa ter x na lateral.
Os números superiores a,b,c obedecem às regras abaixo. Em cada contato, o par de eixos usado é o do número que fica em contato.

Para cada dado, o eixo do número de cima e o eixo do contato esquerdo são diferentes. Entre dados vizinhos, o número de contato x (direita do 1º, esquerda do 2º) deve ter o eixo diferente de a e de b. O eixo do número de contato entre o 2º e o 3º é o mesmo eixo de x (esquerda e direita do 2º são opostas), e deve ser diferente de c.

Assim, a, b, c devem deixar livre algum eixo comum: os três eixos \{1,6\},\{2,5\},\{3,4\} não podem ser todos usados por a, b, c simultaneamente. Ou seja, a, b, c não podem ocupar três eixos diferentes.

Total: 6^3=216. Com eixos todos diferentes: 6\cdot4\cdot2=48 escolhas de eixos×valores ... na verdade 3!\cdot2^3=48.

Portanto 216-48=168.

Cheque com 635: eixos \{1,6\}, \{3,4\}, \{2,5\} são todos diferentes, logo é impossível. Com 436: eixos \{3,4\}, \{3,4\}, \{1,6\} só usam dois eixos, logo é possível.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa E (216) engana quem acha que qualquer combinação de três algarismos é possível.

Por que as outras alternativas estão erradas

ANúmero sem relação com a contagem correta dos casos possíveis.
BSubtrai casos demais ou conta errado os eixos.
DSubtrai apenas 24 dos 216, contando só metade dos casos impossíveis.
EIgnora a restrição e conta todos os 6^3 números.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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Questão 17 no caderno Nível 3 da OBMEP 2014

Fonte: OBMEP 2014 · Nível 3. Prova oficial ↗