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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 18 (Nível 3) da OBMEP 2014

Nível 3 · Matemática: Transformações geométricas e localização

Um triângulo equilátero ABC gira uma vez em torno do vértice C e outra vez em torno do vértice B, sempre se apoiando em uma reta, como na figura ao lado.

Sequência de ilustrações mostrando as etapas do triângulo equilátero ABC girando no sentido horário sobre uma reta horizontal: inicialmente apoiado sobre o lado AC com o vértice B no topo; em seguida, gira em torno de C até apoiar sobre o lado CB; depois, gira em torno de B até apoiar sobre o lado BA.

Qual das alternativas representa a trajetória descrita pelo ponto A?

  1. A
    Dois arcos de circunferência contínuos que se encontram em um vértice superior voltado para baixo, apoiados sobre uma reta horizontal.
  2. B
    Dois arcos semicirculares consecutivos que tocam a reta horizontal no ponto de junção central.
  3. C
    Curva formada por três arcos contínuos sobre uma reta horizontal, com o arco central mais elevado que os dois laterais.
  4. D
    Dois segmentos de reta que formam um único triângulo sobre a reta horizontal.
  5. E
    Dois picos triangulares separados sobre a reta horizontal.
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Quando o triângulo gira em torno de um vértice apoiado na reta, os outros vértices descrevem arcos de circunferência centrados nesse vértice, com raio igual ao lado \ell.

Veja o que acontece com A em cada giro:

  1. Giro em torno de C: A está a uma distância \ell de C, então percorre um arco de centro C e raio \ell. O triângulo gira 120^\circ (de apoiado em AC para apoiado em CB). Nesse giro, A sai da reta e vai até o topo, na posição da terceira figura.
  2. Giro em torno de B: nessa posição A está no topo, a uma distância \ell de B. Ele percorre agora um arco de centro B e raio \ell, também de 120^\circ, até chegar de volta à reta, na última figura.

O ponto A começa na reta e termina na reta, então a trajetória é formada por dois arcos de circunferência de mesmo raio e de 120^\circ cada, sem trechos retos. Isso exclui as alternativas D e E, que têm segmentos retos, e a C, que tem três arcos.

Os arcos não são semicírculos, pois 120^\circ \neq 180^\circ. Isso exclui a B. Além disso, o arco do primeiro giro termina no topo com tangente inclinada, e o arco do segundo giro começa ali com outra direção. Os dois arcos se encontram no ponto mais alto formando uma "quina" voltada para baixo, como na figura da alternativa A.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BMostra dois semicírculos tocando a reta no meio, mas cada arco é de 120^\circ, não 180^\circ, e A só toca a reta no início e no fim.
  • CTem três arcos, mas A descreve só dois giros, um em torno de C e outro em torno de B.
  • DUsa segmentos de reta, mas o ponto gira em torno de um vértice e descreve arcos.
  • ETambém usa segmentos retos e mostra dois picos separados, o que não corresponde a arcos de circunferência.

Assuntos: Transformações geométricas e localização, Circunferência: ângulos, cordas e tangência.

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Ver como caiu na prova Questão 18 no caderno Nível 3 da OBMEP 2014

Fonte: OBMEP 2014 · Nível 3. Prova oficial ↗