Questão 16 (Nível 2) da OBMEP 2014

Resolução comentada

Há duas opções para um dia: comer até 7 docinhos (sem restrição para os dias seguintes) ou comer 8, 9 ou 10 (e então os dois dias seguintes ficam limitados a 5 cada).

Vamos comparar a média por dia de cada estratégia:

1. Comer sempre 7: média de 7 por dia.
2. Comer 10 e depois 5 e 5: em 3 dias, 10+5+5=20 docinhos, média de \frac{20}{3}\approx 6{,}67 por dia, menor que 7.

Logo, ciclos de 10, 5, 5 rendem menos que comer 7 todo dia. Mas há um detalhe nas pontas: no fim do período, as restrições "dos dois dias seguintes" saem do período e não custam nada. Assim, vale comer mais de 7 nos dois últimos dias: 10 no dia 28 e 10 no dia 29 (o dia 29 ainda cai em restrição do dia 28? Sim: o dia 28 com 10 limita os dias 29 e 30, então o dia 29 ficaria em 5).

Testando o final: dia 29 com 10 limita só dias fora do período, mas o dia 28 deve ser no máximo 7 (ou 10 restringiria o 29 a 5).

Opção A: dias 1 a 27 com 7, dia 28 com 7, dia 29 com 10: 28\cdot 7+10=206.

Opção B: dia 27 com 10, dias 28 e 29 com 5: 26\cdot 7+10+5+5=202, pior.

Opção C: dia 28 com 10 e dia 29 com 5, dia 26 com 7: 27\cdot 7+10+5=204 (pior que 206).

No dia 29, comer 10 exige que os dias 27 e 28 não tenham mais de 7, o que já é o caso. Assim o máximo é 28\cdot7+10=206.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa A (203) engana quem só pensa em 7 por dia e esquece que o último dia pode ter 10, pois a restrição cairia fora do período.

Por que as outras alternativas estão erradas

• A203 corresponde a 29\cdot7, ignorando que o último dia pode ter 10 docinhos sem prejuízo.
• B204 vem de terminar com 10 e 5 nos dois últimos dias, o que é pior que terminar com 7 e depois 10.
• D213 supõe vantagem em ciclos de 10, 5, 5 ou outro arranjo que viola a restrição.
• E290 ignora a restrição e usa 10 docinhos todos os dias.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

Reportar erro na resolução

O que está errado?

Conta ou raciocínio errado Chega em outra resposta Explicação confusa Outro problema

Detalhes (opcional) Não preencha

Enviar Sem cadastro: não guardamos quem enviou.