Questão 13 (Nível 3) da OBMEP 2014

Resolução comentada

Use a inclusão-exclusão. Como ninguém toca os três tipos, a interseção tripla vale 0. Seja x o número de pessoas que tocam sopro e percussão.

1. Soma dos três grupos: 23 + 18 + 12 = 53.
2. Subtraindo as interseções conhecidas: 53 - 10 - 6 = 37.
3. Assim, N = 37 - x.

Para que N seja mínimo, x deve ser o maior possível. Os valores de x são limitados pelos grupos:

• Quem toca sopro e percussão não pode tocar corda, então essas pessoas são só de sopro ou só de percussão (e de mais nenhum outro tipo).
• Dos 18 de sopro, 10 também tocam corda, sobrando 8 que não tocam corda. Logo x \le 8.
• Dos 12 de percussão, 6 também tocam corda, sobrando 6 que não tocam corda. Logo x \le 6.

Portanto x \le 6, e o máximo é x = 6.

Verificação: só percussão = 12 - 6 - 6 = 0; só sopro = 18 - 10 - 6 = 2; só corda = 23 - 10 - 6 = 7. Total: 7 + 2 + 0 + 10 + 6 + 6 = 31.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa E engana quem soma os três grupos sem descontar quem toca dois instrumentos; e 37 (x = 0) não está nas opções, mas é o erro de esquecer que x é limitado.

Por que as outras alternativas estão erradas

• BNão corresponde a nenhum valor viável de x; 37 - x = 33 exigiria x=4, que não é o máximo.
• CValor sem relação com a inclusão-exclusão correta, que só chega a no máximo 37.
• DTambém ultrapassa 37, que é o total com x=0; impossível como mínimo.
• EÉ só a soma 23+18+12, sem descontar as interseções.

Assunto: Conjuntos e conjuntos numéricos.

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