Questão 12 (Nível 3) da OBMEP 2014

Resolução comentada

A ideia é usar a fatoração de n!: o expoente de um primo p em n! é \left\lfloor \frac{n}{p} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^2} \right\rfloor + \cdots.

Os primos 11 e 13 aparecem com expoente 1, e 17 não aparece. Logo 13 \le n < 17.

O primo 11 aparece uma só vez, o que vale para n de 13 a 21. O primo 7 tem expoente 2, o que vale para 14 \le n \le 20 (para n=13 seria só 1). Então n \ge 14.

Agora o expoente do 5, que deve ser 3: para n=15, \lfloor 15/5 \rfloor = 3, e 25>15, então o expoente é 3. Para n=14 o expoente é 2. Portanto n \ge 15.

Sobram n=15 ou n=16. Conferindo o expoente do 2:

1. n=15: \lfloor 15/2 \rfloor + \lfloor 15/4 \rfloor + \lfloor 15/8 \rfloor = 7+3+1 = 11.
2. n=16: 8+4+2+1 = 15.

O expoente 15 só ocorre para n=16. Conferindo o 3 com n=16: \lfloor 16/3 \rfloor + \lfloor 16/9 \rfloor = 5+1 = 6. Está de acordo.

Assim, 16! = 2^{15} \cdot 3^6 \cdot 5^3 \cdot 7^2 \cdot 11 \cdot 13.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

• A13! tem apenas um fator 7 e expoente do 5 igual a 2.
• B14! tem expoente do 5 igual a 2, e não 3.
• C15! tem expoente do 2 igual a 11, e não 15.
• E18! contém o fator primo 17, que não aparece na fatoração.

Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.

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