Questão 11 (Nível 3) da OBMEP 2014

Question

Quatro circunferências de mesmo raio estão dispostas como na figura, determinando doze pequenos arcos, todos de comprimento 3. Qual é o comprimento de cada uma dessas circunferências?

Quatro circunferências idênticas interceptando-se em arranjo simétrico, com pequenos arcos destacados em traço mais grosso e marcados por pontos, com a indicação de comprimento 3 em um deles.

A
18
B
20
C
21
D
22
E
24

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 11 (Nível 3) da OBMEP 2014

Nível 3 · Matemática: Circunferência: ângulos, cordas e tangência

Quatro circunferências de mesmo raio estão dispostas como na figura, determinando doze pequenos arcos, todos de comprimento 3. Qual é o comprimento de cada uma dessas circunferências?

Quatro circunferências idênticas interceptando-se em arranjo simétrico, com pequenos arcos destacados em traço mais grosso e marcados por pontos, com a indicação de comprimento 3 em um deles.

A
18
B
20
C
21
D
22
E
24

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Devido às simetrias presentes na figura, podemos construir o quadrado ABCD, com vértices A, B, C e D situados nos centros de cada uma das circunferências, conforme mostrado na figura. Observamos que em cada circunferência, os dois lados do quadrado que saem do centro dela determinam um arco cujo comprimento é \frac{3}{2} + 3 + \frac{3}{2} = 6, sendo essa medida a quarta parte do comprimento de cada círculo. Logo, o comprimento de cada círculo é 24.

[Figura: Quatro circunferências idênticas dispostas simetricamente em uma grade 2 por 2, interceptando-se aos pares. Os centros das circunferências são os vértices A, B, D e C de um quadrado sombreado.]

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Resolução comentada

Ligue os centros das quatro circunferências. Pela simetria da disposição, eles formam um quadrado; portanto, os segmentos que ligam um centro aos dois centros vizinhos fazem um ângulo de 90^\circ.

Considere a circunferência superior esquerda. O segmento que liga seu centro ao centro da circunferência da direita passa pelo meio do pequeno arco da região de sobreposição. Isso acontece porque duas circunferências de mesmo raio são simétricas em relação à reta que une seus centros.

O mesmo vale para a sobreposição com a circunferência de baixo. Assim, o quarto de circunferência voltado para o centro da figura é composto por:

metade de um pequeno arco;
um pequeno arco inteiro, entre as duas sobreposições;
metade de outro pequeno arco.

Como cada pequeno arco mede 3, esse quarto da circunferência mede

\frac{3}{2}+3+\frac{3}{2}=6.

Logo, o comprimento de uma circunferência inteira é

4\cdot6=24.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

AEquivale a contar apenas seis pequenos arcos, quando cada circunferência corresponde a oito.
BNão corresponde ao comprimento 6 de cada quarto da circunferência.
CEquivale a contar sete pequenos arcos, em vez de oito.
DNão corresponde à multiplicação do comprimento de um quarto da circunferência por quatro.

Assunto: Circunferência: ângulos, cordas e tangência.

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Questão 11 no caderno Nível 3 da OBMEP 2014

Fonte: OBMEP 2014 · Nível 3. Prova oficial ↗