Questão 9 (Nível 3) da OBMEP 2013

Question

Iara gastou R$10,00 para comprar açúcar e chocolate. A relação entre as quantidades desses ingredientes que podem ser compradas com essa quantia é dada pelo gráfico.

Gráfico cartesiano da quantidade de chocolate (em kg, no eixo vertical de 0 a 2) em função da quantidade de açúcar (em kg, no eixo horizontal de 0 a 4). Há uma reta decrescente que intersecta o eixo vertical abaixo de 2 e o eixo horizontal entre 3 e 4.

Qual das seguintes afirmativas é verdadeira, independentemente das quantidades compradas?

A
Iara comprou mais açúcar do que chocolate.
B
Iara comprou quantidades diferentes de açúcar e chocolate.
C
Iara gastou mais em chocolate do que em açúcar.
D
O preço de um quilo de chocolate é maior que o preço de um quilo de açúcar.
E
Iara comprou duas vezes mais chocolate do que de açúcar.

Answer 1

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Questão 9 (Nível 3) da OBMEP 2013

Nível 3 · Matemática: Função afim

Iara gastou R$10,00 para comprar açúcar e chocolate. A relação entre as quantidades desses ingredientes que podem ser compradas com essa quantia é dada pelo gráfico.

Gráfico cartesiano da quantidade de chocolate (em kg, no eixo vertical de 0 a 2) em função da quantidade de açúcar (em kg, no eixo horizontal de 0 a 4). Há uma reta decrescente que intersecta o eixo vertical abaixo de 2 e o eixo horizontal entre 3 e 4.

Qual das seguintes afirmativas é verdadeira, independentemente das quantidades compradas?

A
Iara comprou mais açúcar do que chocolate.
B
Iara comprou quantidades diferentes de açúcar e chocolate.
C
Iara gastou mais em chocolate do que em açúcar.
D
O preço de um quilo de chocolate é maior que o preço de um quilo de açúcar.
E
Iara comprou duas vezes mais chocolate do que de açúcar.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Consideremos primeiro os quatro pontos destacados na figura ao lado.

[Figura: Gráfico cartesiano no primeiro quadrante com o eixo horizontal "açúcar" graduado de 0 a 4 e o eixo vertical "chocolate" graduado de 0 a 2. Uma reta decrescente corta o eixo vertical no ponto P (pouco abaixo de 2) e o eixo horizontal no ponto S (pouco à direita de 3). As retas de equações y = 2x e y = x partem da origem e interceptam a reta decrescente nos pontos Q e R, respectivamente.]

Ponto P: Encontro da reta dada com o eixo y. Ele nos informa que se Iara resolver gastar os R$ 10,00 só com chocolate ela comprará um pouco menos de 2 kg de chocolate.
Ponto S: Encontro da reta com o eixo x. Ele nos informa que se Iara quiser gastar tudo em açúcar ela comprará um pouco mais do que 3 kg de açúcar.
Ponto R: Encontro da reta dada com a reta y = x. Este ponto nos informa que Iara pode comprar quantidades iguais de açúcar e chocolate. Notamos que, para qualquer outro ponto da reta dada, as quantidades de açúcar e chocolate serão diferentes.
Ponto Q: Encontro da reta dada com a reta y = 2x. Este ponto indica a única situação em que a quantidade de chocolate é o dobro da quantidade de açúcar.

Vamos agora às opções.

A) Falsa: para pontos entre P e R ocorre exatamente o contrário, ou seja, a quantidade de chocolate supera a quantidade de açúcar.

B) Falsa: no ponto R as quantidades são iguais.

C) Falsa: por exemplo, no ponto S todo o dinheiro seria gasto em açúcar. Logo, não se pode afirmar que Elisa gastou mais dinheiro em chocolate do que em açúcar.

D) Verdadeira: como com R$ 10,00 Iara pode comprar um pouco mais do que 3 kg de açúcar ou um pouco menos do que 2 kg de chocolate, segue que o quilo do chocolate custa mais que \frac{10}{2} = 5 reais e o quilo de açúcar menos que \frac{10}{3} < 3{,}4 reais.

E) Falsa: a quantidade de chocolate só corresponde ao dobro da quantidade de açúcar no ponto Q. Portanto, não se pode afirmar que isso ocorre.

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Resolução comentada

Se Iara gasta os R$ 10,00 inteiros, os pontos possíveis estão sobre a reta: p_a\cdot a + p_c\cdot c = 10, em que a e c são as quantidades de açúcar e chocolate, e p_a e p_c os preços por quilo.

A reta corta o eixo vertical em cerca de 1{,}75 (compra só chocolate) e o horizontal em cerca de 3{,}4 (compra só açúcar). Então:

p_c = \dfrac{10}{1{,}75}\approx 5{,}7 reais/kg.
p_a = \dfrac{10}{3{,}4}\approx 2{,}9 reais/kg.

Portanto o chocolate custa mais por quilo que o açúcar (o intercepto vertical é menor, logo o preço é maior). Isso vale para qualquer ponto da reta, pois os preços não mudam.

Testando as outras afirmações: elas dependem do ponto escolhido. Perto do eixo horizontal, compra-se mais açúcar que chocolate; perto do eixo vertical, ocorre o contrário (A é falsa em geral). No cruzamento da reta com a diagonal a=c (aprox. 1{,}15 kg cada) as quantidades são iguais (B falsa). Em gasto, é possível gastar R$ 5,00 em cada um (C falsa). A razão 2:1 só ocorre em um ponto (E falsa).

Só o preço é independente das quantidades compradas.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

ASó vale para pontos com mais açúcar; perto do eixo vertical ela é falsa.
BNo ponto em que a reta cruza a diagonal as quantidades são iguais.
CDepende do ponto; é possível gastar R$ 5,00 em cada ou mais em açúcar.
ESó ocorre em um ponto específico da reta, não em todos.

Assunto: Função afim.

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Questão 9 no caderno Nível 3 da OBMEP 2013

Fonte: OBMEP 2013 · Nível 3. Prova oficial ↗