Questão 10 (Nível 3) da OBMEP 2013

Question

Uma escada com 2,9 metros de comprimento e uma articulação central C possui a extremidade B fixa no chão e a extremidade A móvel, conforme a figura. A escada, inicialmente estendida no chão, foi dobrada de tal forma que a extremidade A deslizou 2 centímetros. A quantos centímetros do chão ficou a articulação C?

Esquema mostrando a escada estendida horizontalmente de A a B com comprimento de 2,9 metros e articulação central C; e abaixo, a escada dobrada para cima na articulação central C com a extremidade B no mesmo local e a extremidade A tendo deslizado 2 centímetros horizontalmente em direção a B.

A
2
B
4
C
8
D
11
E
17

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 (Nível 3) da OBMEP 2013

Nível 3 · Matemática: Teorema de Pitágoras e relações métricas

Uma escada com 2,9 metros de comprimento e uma articulação central C possui a extremidade B fixa no chão e a extremidade A móvel, conforme a figura. A escada, inicialmente estendida no chão, foi dobrada de tal forma que a extremidade A deslizou 2 centímetros. A quantos centímetros do chão ficou a articulação C?

Esquema mostrando a escada estendida horizontalmente de A a B com comprimento de 2,9 metros e articulação central C; e abaixo, a escada dobrada para cima na articulação central C com a extremidade B no mesmo local e a extremidade A tendo deslizado 2 centímetros horizontalmente em direção a B.

A
2
B
4
C
8
D
11
E
17

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Solução oficial da OBMEP

[Figura: Esquema geométrico com uma linha horizontal contendo os pontos alinhados A, A₁, E e B. O segmento AA₁ tem indicação de medida 2 e o segmento A₁B tem indicação de medida x - 2. Acima de E está o ponto D, com o segmento vertical DE perpendicular ao chão com medida h. Os segmentos A₁D e BD formam um triângulo isósceles, ambos com medida indicando x/2.]

Suponhamos que a escada tenha comprimento AB = x. Na figura, os pontos A_1 e D indicam, respectivamente, as posições dos pontos A e C após o movimento. Como C é o ponto médio de AB, o triângulo A_1BD é isósceles com A_1B = x - 2 e A_1D = BD = \frac{x}{2}. A distância h = DE do ponto D ao chão pode então ser calculada pelo teorema de Pitágoras como h = \sqrt{\left(\frac{x}{2}\right)^2 - \left(\frac{x - 2}{2}\right)^2} = \sqrt{x - 1}. No problema, temos x = 290\text{ cm} e então h = \sqrt{289} = 17\text{ cm}.

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Resolução comentada

A escada tem 2,9 m = 290 cm, então cada metade (AC e CB) mede 145 cm.

Depois de dobrada, A e B ficam no chão, e A se aproximou 2 cm de B. Logo, a distância entre A e B passou a ser 290 - 2 = 288 cm.

Como AC = CB = 145 cm, o triângulo ACB é isósceles com base AB. A altura de C até o chão cai no ponto médio da base, que divide AB em dois pedaços de:

\frac{288}{2} = 144\ \text{cm}

A altura h de C é um cateto de um triângulo retângulo com hipotenusa 145 cm e outro cateto 144 cm. Pelo teorema de Pitágoras:

h^2 + 144^2 = 145^2
h^2 = 145^2 - 144^2
h^2 = (145-144)(145+144) = 1 \cdot 289 = 289
h = 17 cm

O truque foi usar a diferença de quadrados, evitando calcular os quadrados grandes.

A articulação C ficou a 17 cm do chão.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

ARepete o deslocamento de 2 cm dado no enunciado, sem calcular a altura.
BNão corresponde a nenhum cálculo correto; ignora que a base tem 288 cm e a hipotenusa 145 cm.
CValor sem base em Pitágoras; resulta de erro ao calcular a diferença entre 145² e 144².
DTambém não vem de \sqrt{289}; é erro na conta da diferença de quadrados.

Assuntos: Teorema de Pitágoras e relações métricas, Unidades de medida e conversões.

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Questão 10 no caderno Nível 3 da OBMEP 2013

Fonte: OBMEP 2013 · Nível 3. Prova oficial ↗