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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 8 (Nível 3) da OBMEP 2013

Nível 3 · Matemática: Média aritmética e ponderada

Marcos fez cinco provas de Matemática. Suas notas, em ordem crescente, foram 75, 80, 84, 86 e 95. Ao digitar as notas de Marcos na ordem em que as provas foram realizadas, o professor notou que as médias das duas primeiras provas, das três primeiras, das quatro primeiras e das cinco provas eram números inteiros. Qual foi a nota que Marcos tirou na última prova?

  1. A
    75
  2. B
    80
  3. C
    84
  4. D
    86
  5. E
    95
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Resolução comentada

Resolução comentada

A média de n provas é inteira quando a soma das n notas é divisível por n. Vamos aplicar isso a cada etapa.

  1. Soma das cinco notas: 75+80+84+86+95=420, que é divisível por 5.
  2. A soma das quatro primeiras é 420 menos a última nota, e deve ser divisível por 4. Como 420 é múltiplo de 4, a última nota também precisa ser. Só 80 e 84 servem.
  3. Teste da última nota igual a 80. A soma das quatro primeiras é 340, que deixa resto 1 na divisão por 3. A soma das três primeiras é divisível por 3, então a quarta nota deve deixar resto 1 por 3. As notas 75, 84, 86 e 95 deixam restos 0,0,2,2. Nenhuma serve, logo 80 é impossível.
  4. Teste da última nota igual a 84. A soma das quatro primeiras é 336, divisível por 3. A quarta nota então deve ser múltipla de 3, e entre 75, 80, 86 e 95 só o 75 é. Sobram 80, 86 e 95 nas três primeiras provas.
  5. A soma das duas primeiras deve ser par, então elas têm a mesma paridade: 80 e 86. A terceira prova foi 95.

Conferindo a ordem 80, 86, 95, 75, 84:

  • 80+86=166, média 83.
  • 166+95=261, média 87.
  • 261+75=336, média 84.
  • 336+84=420, média 84.

Todas as médias são inteiras, então a última nota foi 84.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ACom 75 por último, a soma das quatro primeiras seria 345, que não é divisível por 4.
  • BCom 80 por último, a soma das três primeiras não pode ser divisível por 3, pois nenhuma nota restante deixa o resto necessário.
  • DCom 86 por último, a soma das quatro primeiras seria 334, que não é divisível por 4.
  • ECom 95 por último, a soma das quatro primeiras seria 325, que não é divisível por 4.

Assunto: Média aritmética e ponderada.

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Ver como caiu na prova Questão 8 no caderno Nível 3 da OBMEP 2013

Fonte: OBMEP 2013 · Nível 3. Prova oficial ↗