Questão 9 (Nível 1) da OBMEP 2013

Resolução comentada

A figura mostra só a parte de cima do polígono, que é simétrico. Como todos os lados são iguais, vamos contar os lados e achar o tamanho de cada um pelo perímetro.

A figura cortada sugere um polígono em forma de losango escalonado ("diamante"), que se completa com a parte de baixo igual à de cima, por simetria.

Lendo a figura de cima para baixo, no lado esquerdo: o topo tem 1 lado horizontal. Depois descem degraus. A figura tem lados verticais e horizontais alternados: vertical, horizontal, vertical, horizontal etc.

Contando os lados da metade superior (da esquerda para a direita): topo (1 horizontal), 2 verticais laterais do topo, 2 horizontais, 2 verticais, 2 horizontais, 2 verticais (o degrau mais largo), 2 horizontais, 2 verticais, 2 horizontais finais. Em cada lado do eixo vemos 4 degraus de subida, cada um com 1 horizontal e 1 vertical.

Para o perímetro, usamos a projeção: o perímetro de um polígono ortogonal convexo em escada é o perímetro do retângulo que o envolve. Largura = 7 lados e altura = 7 lados, ou seja, 7 × 4 = 28 lados... Mas isso dá 28 lados de perímetro, e 56 = 28\cdot 2 não bate com esse valor.

Continuando: se o perímetro é 56 cm e o retângulo envolvente tem largura e altura de 7 lados, o perímetro é 4\cdot 7\,\ell = 56, então \ell = 2 cm.

O polígono tem formato de diamante em escada. Contando quadradinhos por linha: 1, 3, 5, 7, 5, 3, 1, o que dá 1+3+5+7+5+3+1 = 25 quadradinhos.

Cada quadradinho tem área 2\cdot 2 = 4\ \text{cm}^2, então a área é 25\cdot 4 = 100\ \text{cm}^2.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa A engana quem conta 25 quadradinhos e esquece que cada um tem lado de 2 cm, não 1 cm.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ADá o número de quadradinhos (25), sem multiplicar pela área de cada um.
• BErra a contagem de quadradinhos ou o valor do lado, chegando a metade da área.
• CNão corresponde a nenhuma contagem consistente de quadradinhos com lado de 2 cm.
• EUsa lado errado ou contagem errada, resultando em área maior que a real.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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