Questão 6 (Nível 1) da OBMEP 2013

Question

A figura representa um retângulo de área 36\ \text{m}^2, dividido em três faixas de mesma largura. Cada uma das faixas está dividida em partes iguais: uma em quatro partes, outra em três e a terceira em duas. Qual é a área total das partes sombreadas?

Retângulo dividido horizontalmente em três faixas de mesma largura: a superior dividida em 4 partes iguais, com as duas partes centrais sombreadas; a faixa do meio dividida em 3 partes iguais, com as duas partes laterais sombreadas; e a inferior dividida em 2 partes iguais, com a parte da esquerda sombreada.

A
18\ \text{m}^2
B
20\ \text{m}^2
C
22\ \text{m}^2
D
24\ \text{m}^2
E
26\ \text{m}^2

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Nível 1) da OBMEP 2013

Nível 1 · Matemática: Frações, decimais e operações básicas

A figura representa um retângulo de área 36\ \text{m}^2, dividido em três faixas de mesma largura. Cada uma das faixas está dividida em partes iguais: uma em quatro partes, outra em três e a terceira em duas. Qual é a área total das partes sombreadas?

Retângulo dividido horizontalmente em três faixas de mesma largura: a superior dividida em 4 partes iguais, com as duas partes centrais sombreadas; a faixa do meio dividida em 3 partes iguais, com as duas partes laterais sombreadas; e a inferior dividida em 2 partes iguais, com a parte da esquerda sombreada.

A
18\ \text{m}^2
B
20\ \text{m}^2
C
22\ \text{m}^2
D
24\ \text{m}^2
E
26\ \text{m}^2

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Como as faixas são retângulos de mesmas dimensões, elas têm a mesma área, que é 36 \div 3 = 12\ \text{m}^2. Segue que:

[Figura: Três faixas retangulares horizontais idênticas empilhadas, formando um retângulo maior. A faixa superior está dividida em 4 partes iguais, com as duas centrais cinzas e as extremidades brancas. A faixa intermediária está dividida em 3 partes iguais, com as duas extremidades cinzas e o meio branco. A faixa inferior está dividida em 2 partes iguais, com a metade esquerda cinza e a metade direita branca.]

na faixa inferior, a área de cada parte é 12 \div 2 = 6\ \text{m}^2; essa é a área da parte cinza;
na faixa do meio, a área de cada parte é 12 \div 3 = 4; as duas partes cinzas têm então área total igual a 2 \times 4 = 8\ \text{m}^2;
na faixa do cima, a área de cada parte é 12 \div 4 = 3; as três partes cinzas têm então área total igual a 2 \times 3 = 6\ \text{m}^2.

A área total da região colorida de cinza é, portanto, 6 + 8 + 6 = 20\ \text{m}^2.

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Resolução comentada

Como as três faixas têm a mesma largura, cada uma tem um terço da área do retângulo: 36 \div 3 = 12\ \text{m}^2.

Agora, em cada faixa, vemos que fração está sombreada:

Faixa de cima: dividida em 4 partes iguais, com 2 sombreadas. Fração sombreada: \frac{2}{4}=\frac{1}{2}, ou seja, \frac{1}{2}\cdot 12 = 6\ \text{m}^2.
Faixa do meio: dividida em 3 partes iguais, com 2 sombreadas. Fração: \frac{2}{3}, ou seja, \frac{2}{3}\cdot 12 = 8\ \text{m}^2.
Faixa de baixo: dividida em 2 partes iguais, com 1 sombreada. Fração: \frac{1}{2}, ou seja, \frac{1}{2}\cdot 12 = 6\ \text{m}^2.

Somando as áreas sombreadas:

6 + 8 + 6 = 20\ \text{m}^2

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

AConsidera metade da área total sombreada, sem calcular a fração de cada faixa.
CErro de soma ou de fração em alguma faixa, chegando a um valor acima do correto.
DValor sem respaldo nas frações, como tomar a faixa do meio com mais partes sombreadas.
ESuperestima a área sombreada, contando partes a mais nas faixas.

Assuntos: Frações, decimais e operações básicas, Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 6 no caderno Nível 1 da OBMEP 2013

Fonte: OBMEP 2013 · Nível 1. Prova oficial ↗