Questão 4 (Nível 2) da OBMEP 2013

Resolução comentada

Os triângulos sombreados têm como bases os lados horizontais do retângulo, que medem 12\ \text{cm} cada, e o vértice comum é o ponto P.

A área de um triângulo é \frac{\text{base}\cdot\text{altura}}{2}. A altura de cada triângulo é a distância de P ao lado correspondente.

1. Seja h a distância de P ao lado superior. Então a distância de P ao lado inferior é 10-h, porque a largura do retângulo é 10\ \text{cm}.
2. Triângulo de cima: \dfrac{12\cdot h}{2}=6h.
3. Triângulo de baixo: \dfrac{12\cdot(10-h)}{2}=6(10-h).
4. Soma das áreas: 6h+60-6h=60.

A soma não depende da posição de P: os dois triângulos juntos sempre ocupam metade do retângulo, cuja área é 12\cdot 10=120\ \text{cm}^2.

Como o quadrilátero foi montado só com esses dois triângulos, sem sobras nem sobreposições, sua área é a soma das áreas deles, 60\ \text{cm}^2.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AValor sem justificativa; a soma das áreas dos triângulos é exatamente 60, não 58.
• CValor sem relação com a soma das áreas, que é metade de 120.
• DValor sem relação com a soma das áreas; passa de metade do retângulo.
• EValor sem relação com a soma das áreas; passa de metade do retângulo.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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