Questão 20 (Nível 2) da OBMEP 2013

Resolução comentada

Cada operação soma 1 (módulo 3) aos quatro quadradinhos de um bloco 2x2, na ordem cinza → azul → amarelo → cinza. Chame cinza de 0, azul de 1 e amarelo de 2. Como o começo é todo cinza, a cor de cada quadradinho é o número de vezes que ele foi coberto por um bloco, módulo 3.

Sejam x_1, x_2, x_3, x_4 as quantidades de vezes que se escolheu os blocos superior esquerdo, superior direito, inferior esquerdo e inferior direito. Chame os quadradinhos de a\ b\ c / d\ e\ f / g\ h\ i. Então:

• a=x_1, c=x_2, g=x_3, i=x_4
• b=x_1+x_2, d=x_1+x_3, f=x_2+x_4, h=x_3+x_4
• e=x_1+x_2+x_3+x_4

A figura dá a=2 (amarelo), d=1 (azul), e=0 (cinza) e h=1 (azul).

1. a=2 dá x_1=2.
2. d=x_1+x_3=1 dá x_3\equiv -1\equiv 2.
3. h=x_3+x_4=1 dá x_4\equiv 2.
4. e=2+x_2+2+2=6+x_2\equiv 0 dá x_2\equiv 0.

Agora os que faltam:

• c=x_2=0 (cinza)
• g=x_3=2 (amarelo)
• i=x_4=2 (amarelo)
• b=x_1+x_2=2 (amarelo)
• f=x_2+x_4=2 (amarelo)

O quadriculado fica: amarelo, amarelo, cinza / azul, cinza, amarelo / amarelo, azul, amarelo, que é o da alternativa E.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

• APinta o canto superior direito de azul e o inferior esquerdo de azul, mas c deveria ser cinza e g amarelo.
• BPõe azul no canto superior do meio e cinza em b, o que contradiz b = x1 + x2 = 2 (amarelo).
• CPõe cinza em b e em i, mas b e i deveriam ser amarelos.
• DPõe amarelo em c e azul em f, mas c deveria ser cinza e f amarelo.

Assunto: Sequências e padrões.

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