Questão 20 (Nível 3) da OBMEP 2013

Question

Adão gosta de construir sequências de quadriculados 3x3, de acordo com as seguintes regras:

o primeiro quadriculado tem todos seus quadradinhos pintados de cinza;
para passar ao quadriculado 3x3 seguinte, escolhe-se um quadriculado 2x2 e, neste quadriculado, os quadradinhos cinza passam a ser azuis, os azuis passam a ser amarelos e os amarelos passam a ser cinza.

Veja um exemplo de uma das sequências do Adão, na qual os quadriculados 2x2 escolhidos aparecem em destaque.

Um dia, ao construir uma sequência, Adão foi interrompido e o quadriculado que ele estava pintando ficou incompleto, conforme a figura. Os pontos de interrogação indicam os quadradinhos que Adão não teve tempo de pintar. Qual das alternativas abaixo representa o preenchimento correto desse quadriculado?

Quadriculado 3x3 incompleto. Primeira linha: amarelo, ponto de interrogação, ponto de interrogação. Segunda linha: azul, cinza, ponto de interrogação. Terceira linha: ponto de interrogação, azul, ponto de interrogação.

A
B
C
D
E

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 20 (Nível 3) da OBMEP 2013

Nível 3 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Adão gosta de construir sequências de quadriculados 3x3, de acordo com as seguintes regras:

o primeiro quadriculado tem todos seus quadradinhos pintados de cinza;
para passar ao quadriculado 3x3 seguinte, escolhe-se um quadriculado 2x2 e, neste quadriculado, os quadradinhos cinza passam a ser azuis, os azuis passam a ser amarelos e os amarelos passam a ser cinza.

Veja um exemplo de uma das sequências do Adão, na qual os quadriculados 2x2 escolhidos aparecem em destaque.

Um dia, ao construir uma sequência, Adão foi interrompido e o quadriculado que ele estava pintando ficou incompleto, conforme a figura. Os pontos de interrogação indicam os quadradinhos que Adão não teve tempo de pintar. Qual das alternativas abaixo representa o preenchimento correto desse quadriculado?

Quadriculado 3x3 incompleto. Primeira linha: amarelo, ponto de interrogação, ponto de interrogação. Segunda linha: azul, cinza, ponto de interrogação. Terceira linha: ponto de interrogação, azul, ponto de interrogação.

A
B
C
D
E

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Observamos inicialmente que em qualquer quadradinho, quando o número de trocas de cor é um múltiplo de 3, voltamos à cor original. Assim, para saber, em qualquer momento, qual a cor de um quadradinho, basta conhecer o resto na divisão por 3 do número de trocas de cor. Para isso, identificamos cada quadradinho cinza com o número 0 (o que significa que o número de trocas de cor tem resto 0 na divisão por 3, ou seja, a cor pode não ter sido trocada ou foi trocada em um número múltiplo de 3); identificamos um quadradinho azulcom o número 1 (o que significa que o número de trocas de cor tem resto 1 na divisão por 3); e, finalmente, identificamos um quadradinho amarelo com o número 2 (o número de trocas de cor tem resto 2 na divisão por 3).

Observamos agora que, sempre que trocamos a cor de um quadradinho da primeira ou da terceira coluna, trocamos também a cor do quadradinho a seu lado na coluna do meio. Portanto, a soma do número de trocas de cor dos quadradinhos de uma mesma linha, que estão na primeira e terceira colunas, é igual ao número de trocas de cor do quadradinho da coluna do meio que está nesta mesma linha. Em particular, o resto da divisão do número de trocas de um quadradinho da coluna do meio por 3 é igual ao resto da divisão por 3 da soma dos restos das divisões por 3 do número de trocas de cores dos quadradinhos vizinhos que estão na primeira e na terceira coluna da mesma linha. Comentário análogo vale para os quadradinhos da linha do meio. Essas observações nos permitem reconstruir o quadriculado completo, conforme a figura abaixo.

[Figura: Sequência de três tabuleiros 3x3 indicando a reconstrução dos números e cores em cada casa. O primeiro tabuleiro tem apenas algumas casas preenchidas: linha 1 com 2 em fundo amarelo; linha 2 com 1 em fundo azul e 0 em fundo cinza; linha 3 com 1 em fundo azul na coluna central. O segundo tabuleiro preenche em vermelho os números 2 nas casas (linha 1, coluna 2), (linha 2, coluna 3) e (linha 3, coluna 1). O terceiro tabuleiro finaliza preenchendo o número 0 em vermelho em (linha 1, coluna 3) e o número 2 em vermelho em (linha 3, coluna 3).]

O problema não acaba aqui, pois ainda não mostramos que esse quadriculado pode, de fato, ser obtido por uma sequência de Adão. Que isso de fato acontece pode ser visto abaixo.

[Figura: Sequência de sete tabuleiros 3x3 conectados por setas horizontais, exibindo a sequência de operações em blocos 2x2 para atingir a coloração final a partir de um tabuleiro todo cinza.]

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

Cada operação troca as cores de um bloco 2x2 seguindo o ciclo cinza → azul → amarelo → cinza. Numerando cinza = 0, azul = 1 e amarelo = 2, cada operação soma 1 (módulo 3) aos quatro quadradinhos do bloco.

Sejam a, b, c, d o número de vezes que Adão escolheu os blocos superior esquerdo, superior direito, inferior esquerdo e inferior direito. Cada quadradinho recebe a soma dos blocos que o cobrem:

linha 1: a, a+b, b
linha 2: a+c, a+b+c+d, b+d
linha 3: c, c+d, d

Usando os quadradinhos já pintados (tudo módulo 3):

Canto superior esquerdo amarelo: a=2.
Meio da esquerda azul: a+c=1, logo c=2.
Meio da base azul: c+d=1, logo d=2.
Centro cinza: a+b+c+d=0, então 2+b+2+2=0, logo b=0.

Com esses valores, completamos os quadradinhos que faltavam:

a+b=2: amarelo
b=0: cinza
b+d=2: amarelo
c=2: amarelo
d=2: amarelo

O quadriculado fica: amarelo, amarelo, cinza / azul, cinza, amarelo / amarelo, azul, amarelo. É o da alternativa E.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

ATem azul no canto superior direito e azul no canto inferior esquerdo, mas b=0 dá cinza e c=2 dá amarelo.
BPõe azul no meio da primeira linha e azul no canto inferior esquerdo; o correto é amarelo nos dois.
CPõe cinza no meio da primeira linha e cinza no canto inferior direito, mas a+b=2 e d=2 dão amarelo.
DTem o centro cinza mas não respeita o canto superior direito: b=0 dá cinza, não amarelo.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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Questão 20 no caderno Nível 3 da OBMEP 2013

Fonte: OBMEP 2013 · Nível 3. Prova oficial ↗