Questão 19 (Nível 2) da OBMEP 2013

Question

De quantas maneiras diferentes é possível pintar a figura, de modo que cada uma das regiões seja pintada com uma das cores azul, verde ou preto e que regiões cujas bordas possuem um segmento em comum não sejam pintadas com a mesma cor?

Figura geométrica em formato semelhante a um envelope aberto, dividida em 7 regiões poligonais: um retângulo central, quatro triângulos adjacentes aos quatro lados do retângulo (formando um losango ao redor dele) e dois triângulos inferiores nos cantos esquerdo e direito, adjacentes aos lados inferiores do losango, formando uma base horizontal reta.

A
68
B
96
C
108
D
120
E
150

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 19 (Nível 2) da OBMEP 2013

Nível 2 · Matemática: Princípio fundamental da contagem

De quantas maneiras diferentes é possível pintar a figura, de modo que cada uma das regiões seja pintada com uma das cores azul, verde ou preto e que regiões cujas bordas possuem um segmento em comum não sejam pintadas com a mesma cor?

Figura geométrica em formato semelhante a um envelope aberto, dividida em 7 regiões poligonais: um retângulo central, quatro triângulos adjacentes aos quatro lados do retângulo (formando um losango ao redor dele) e dois triângulos inferiores nos cantos esquerdo e direito, adjacentes aos lados inferiores do losango, formando uma base horizontal reta.

A
68
B
96
C
108
D
120
E
150

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Primeiro pintamos o quadrado e o triângulo superior, o que pode ser feito de 3 \times 2 = 6 maneiras diferentes. Uma vez isso feito, dividimos o problema em quatro casos de acordo com as cores dos triângulos menores da parte de baixo, como na figura. As letras minúsculas a e b indicam cores diferentes; notamos que como o quadrado já foi pintado, para os três triângulos menores só restam duas cores disponíveis. As letras maiúsculas A e B servirão apenas para denotar os triângulos maiores no que segue.

[Figura: Quatro esquemas da figura dividida em polígonos, identificados como "caso 1", "caso 2", "caso 3" e "caso 4". Cada esquema contém um quadrado central com um triângulo superior, dois triângulos retângulos maiores inferiores (rotulados com A à esquerda e B à direita) e três triângulos menores contíguos ao quadrado (esquerda, base e direita). No caso 1, os três triângulos menores contêm a letra a. No caso 2, contêm a, a, b. No caso 3, contêm b, a, a. No caso 4, contêm a, b, a.]

Caso 1: temos duas escolhas para a; uma vez feita essa escolha, podemos pintar A com duas cores, bem como B. Isso pode ser feito de 2 \times 2 \times 2 = 8 maneiras diferentes.
Caso 2: temos duas escolhas para a e uma para b; feitas essas escolhas, podemos pintar A com duas cores e B com apenas uma. Isso pode ser feito de 2 \times 1 \times 2 \times 1 = 4 maneiras diferentes.
Caso 3: esse caso é idêntico ao caso 2.
Caso 4: temos duas escolhas para a e uma para b; feitas essas escolhas, só há uma possibilidade para pintar A e B. Isso pode ser feito de 2 \times 1 \times 1 \times 1 = 2 maneiras diferentes.

No total, temos 6 \times (8 + 4 + 4 + 2) = 6 \times 18 = 108 maneiras diferentes de pintar a figura.

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Resolução comentada

Regiões que se encontram apenas em um ponto podem ter a mesma cor: a restrição vale somente quando há um segmento de borda em comum.

O retângulo central tem 3 opções de cor. Escolhida essa cor, o triângulo superior e o triângulo imediatamente abaixo do retângulo têm 2 opções cada, pois ambos encostam no retângulo, mas não encostam um no outro.

Agora fixe essas três cores e observe o lado esquerdo. O triângulo que encosta no lado esquerdo do retângulo tem duas possibilidades:

Se tiver a mesma cor do triângulo abaixo do retângulo, a região do canto inferior esquerdo terá 2 opções, pois seus dois vizinhos têm a mesma cor.
Se tiver a outra cor disponível, a região do canto inferior esquerdo terá apenas 1 opção, pois seus vizinhos terão cores diferentes.

Portanto, o par de regiões à esquerda pode ser pintado de 2+1=3 maneiras. Pelo mesmo raciocínio, o par à direita também tem 3 possibilidades. As escolhas dos dois lados são independentes, pois os cantos inferiores só se encontram em um ponto.

Multiplicando as possibilidades, obtemos:

3\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3=108.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

AO total deve ser múltiplo de 3, pois há a mesma quantidade de pinturas para cada cor do retângulo central; 68 não é.
BCorresponde a 32 pinturas por cor do retângulo central, mas a contagem correta fornece 36.
DCorresponde a 40 pinturas por cor do retângulo central, acima das 36 possibilidades válidas.
ECorresponde a 50 pinturas por cor do retângulo central, acima das 36 possibilidades válidas.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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Questão 19 no caderno Nível 2 da OBMEP 2013

Fonte: OBMEP 2013 · Nível 2. Prova oficial ↗