Questão 19 (Nível 3) da OBMEP 2013

Question

Duas circunferências são tangentes internamente, como na figura. Os segmentos AB e CD são perpendiculares e o ponto O é o centro da circunferência maior. Os segmentos AP e CQ medem, respectivamente, 4 e 3 centímetros. Qual é a medida do raio do círculo menor?

Duas circunferências tangentes internamente no ponto B, sendo O o centro da circunferência maior. Os diâmetros perpendiculares AB e CD cruzam-se em O. A circunferência menor intercepta o segmento AB em P e o segmento CD em Q. O segmento AP mede 4 cm e CQ mede 3 cm, destacados com traço mais grosso.

A
2{,}25\ \text{cm}
B
2{,}5\ \text{cm}
C
2{,}75\ \text{cm}
D
3\ \text{cm}
E
3{,}5\ \text{cm}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 19 (Nível 3) da OBMEP 2013

Nível 3 · Matemática: Circunferência: ângulos, cordas e tangência

Duas circunferências são tangentes internamente, como na figura. Os segmentos AB e CD são perpendiculares e o ponto O é o centro da circunferência maior. Os segmentos AP e CQ medem, respectivamente, 4 e 3 centímetros. Qual é a medida do raio do círculo menor?

Duas circunferências tangentes internamente no ponto B, sendo O o centro da circunferência maior. Os diâmetros perpendiculares AB e CD cruzam-se em O. A circunferência menor intercepta o segmento AB em P e o segmento CD em Q. O segmento AP mede 4 cm e CQ mede 3 cm, destacados com traço mais grosso.

A
2{,}25\ \text{cm}
B
2{,}5\ \text{cm}
C
2{,}75\ \text{cm}
D
3\ \text{cm}
E
3{,}5\ \text{cm}

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Sejam r e R, respectivamente, os raios das circunferências menor e maior, e S o centro da circunferência menor. Notamos primeiro que 2r = PB = AB - 4 = 2R - 4, donde tiramos R = r + 2. No triângulo retângulo SOQ temos SQ = r, OQ = OC - 3 = R - 3 = r - 1 e OS = OB - SB = R - r = 2. O teorema de Pitágoras nos dá r^2 = (r - 1)^2 + 2^2 = r^2 - 2r + 5 e segue que 2r = 5, ou seja, r = \frac{5}{2} = 2{,}5.

[Figura: Circunferência maior de diâmetros perpendiculares AB (horizontal) e CD (vertical), com centro O. Uma circunferência menor com centro S sobre o raio OB é tangente internamente à circunferência maior no ponto B e intercepta o segmento AB no ponto P, com indicação de que a distância AP mede 4\text{ cm}. No segmento OC, há um ponto Q com indicação de que a distância CQ mede 3\text{ cm}. O triângulo retângulo SOQ formado pelos pontos S, O e Q está sombreado em cinza.]

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Resolução comentada

Seja R o raio da circunferência maior e r o raio da menor. Como AB e CD são diâmetros perpendiculares, coloque O na origem: A=(-R,0), B=(R,0), C=(0,R).

As circunferências são tangentes em B, então o centro da menor fica sobre OB, a uma distância r de B: centro M=(R-r,\,0).

P está sobre AB e na circunferência menor, do lado esquerdo. Como AP=4, P=(-R+4,\,0). A distância de P a B é o diâmetro da menor: 2r = R-(-R+4)+R... melhor: PB = R-(-R+4)=2R-4, logo 2r=2R-4, ou seja, r=R-2.
Q está sobre CD (eixo y) e CQ=3, então Q=(0,\,R-3).
Q pertence à circunferência menor, então MQ=r:

(R-r)^2+(R-3)^2=r^2
Com r=R-2, temos R-r=2:

4+(R-3)^2=(R-2)^2

4+R^2-6R+9=R^2-4R+4

9=2R\Rightarrow R=4{,}5
Então r=R-2=2{,}5 cm.

Conferindo: M=(2,0), Q=(0,1{,}5), MQ=\sqrt{4+2{,}25}=2{,}5. ✓

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor sem relação com as equações; não satisfaz MQ=r.
CResultado de erro algébrico; com r=2{,}75 a condição MQ=r não se verifica.
DConfunde o raio com CQ=3; não satisfaz a relação com R=r+2.
EValor incompatível: daria R=5{,}5 e MQ\neq r.

Assuntos: Circunferência: ângulos, cordas e tangência, Teorema de Pitágoras e relações métricas.

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Questão 19 no caderno Nível 3 da OBMEP 2013

Fonte: OBMEP 2013 · Nível 3. Prova oficial ↗