Questão 18 (Nível 3) da OBMEP 2013

Question

O número de alunos matriculados na Escola Municipal de Pirajuba permanece o mesmo desde 2011. Em 2012, foram construídas 5 novas salas de aula e, com isso, a média de alunos por sala foi reduzida em 6 alunos em relação à média de 2011. Em 2013, foram construídas mais 5 salas de aula e, com isso, a média de alunos por sala foi reduzida em 5 alunos em relação à média de 2012. Quantos alunos tem a Escola Municipal de Pirajuba?

A
3150
B
3180
C
3240
D
3300
E
3350

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 18 (Nível 3) da OBMEP 2013

Nível 3 · Matemática: Média aritmética e ponderada

O número de alunos matriculados na Escola Municipal de Pirajuba permanece o mesmo desde 2011. Em 2012, foram construídas 5 novas salas de aula e, com isso, a média de alunos por sala foi reduzida em 6 alunos em relação à média de 2011. Em 2013, foram construídas mais 5 salas de aula e, com isso, a média de alunos por sala foi reduzida em 5 alunos em relação à média de 2012. Quantos alunos tem a Escola Municipal de Pirajuba?

A
3150
B
3180
C
3240
D
3300
E
3350

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Vamos representar o número de salas e o número de alunos da Escola Municipal de Pirajuba, no ano de 2011, respectivamente, por s e por a (observe que o valor de a é o mesmo para os anos de 2011, 2012 e 2013). Como o número de alunos por sala nos anos de 2011 e 2012 é o mesmo, temos \frac{a}{s+5} = \frac{a}{s} - 6 ou, equivalentemente, 6s^2 + 30s = 5a. Analogamente, como número de alunos por sala nos anos de 2012 e 2013 também é o mesmo, temos \frac{a}{s+10} = \frac{a}{s+5} - 5, ou seja, s^2 + 15s + 50 = a. Logo 6s^2 + 30s = 5(s^2 + 15s + 50) e concluímos que o número s de salas satisfaz a equação s^2 - 45s - 250 = 0, cujas soluções são s = 50 e s = -5. Como s > 0, temos s = 50. Logo, o número total de alunos da escola é a = 50^2 + 15 \times 50 + 50 = 3300.

Outra solução envolve considerar a média m = \frac{a}{s} de alunos por sala em 2011; observamos que a = ms.

Da informação do enunciado sobre 2012 tiramos m - 6 = \frac{a}{s+5}, ou seja, a = (m-6)(s+5); a informação sobre 2013 é m - 11 = \frac{a}{s+10}, ou seja, a = (m-11)(s+10). Temos então as equações ms = (m-6)(s+5) e ms = (m-11)(s+10), que nos dão o sistema linear

\begin{cases} 5m - 6s = 30 \\ 10m - 11s = 110 \end{cases}

cuja solução é s = 50 e m = 63. O número de alunos da escola é então a = ms = 63 \times 50 = 3300 (agradecemos ao professor José Luiz dos Santos por sugerir esta solução).

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Resolução comentada

Seja N o número de alunos e s o número de salas em 2011. A média por sala é N/s.

Como a média cai 6 com 5 salas a mais, e depois cai 5 com mais 5 salas:

\dfrac{N}{s}-\dfrac{N}{s+5}=6
\dfrac{N}{s+5}-\dfrac{N}{s+10}=5

Em cada equação, a diferença das frações vira N vezes uma fração:

\frac{5N}{s(s+5)}=6 \Rightarrow 5N=6s(s+5)

\frac{5N}{(s+5)(s+10)}=5 \Rightarrow N=(s+5)(s+10)

Substituindo N na primeira:

5(s+5)(s+10)=6s(s+5)

Como s+5\neq 0, podemos dividir por s+5:

5(s+10)=6s \Rightarrow 5s+50=6s \Rightarrow s=50

Logo N=(55)(60)=3300.

Conferindo: em 2011, 3300/50=66; em 2012, 3300/55=60 (redução de 6); em 2013, 3300/60=55 (redução de 5). Tudo certo.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

ANão satisfaz as condições: 3150 não dá médias inteiras com reduções de 6 e 5 para um número de salas coerente.
B3180 não resulta em reduções de 6 e 5 nas médias; não é (s+5)(s+10) com s=50.
C3240 não satisfaz o sistema; as médias não caem 6 e depois 5.
E3350 também não satisfaz o sistema; s=50 dá exatamente 3300.

Assuntos: Média aritmética e ponderada, Equações do 1º grau e problemas.

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Questão 18 no caderno Nível 3 da OBMEP 2013

Fonte: OBMEP 2013 · Nível 3. Prova oficial ↗