Questão 14 (Nível 3) da OBMEP 2013

Question

Um dado foi construído usando a planificação da figura. Qual é a probabilidade de obtermos dois resultados diferentes quando jogamos esse dado duas vezes?

Planificação da superfície de um cubo com seis faces quadradas: três faces contêm um losango cinza, duas faces contêm um círculo branco e uma face contém um círculo preto preenchido.

A
\dfrac{1}{2}
B
\dfrac{11}{18}
C
\dfrac{2}{3}
D
\dfrac{5}{6}
E
\dfrac{31}{36}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 14 (Nível 3) da OBMEP 2013

Nível 3 · Matemática: Eventos sucessivos e distribuição binomial

Um dado foi construído usando a planificação da figura. Qual é a probabilidade de obtermos dois resultados diferentes quando jogamos esse dado duas vezes?

Planificação da superfície de um cubo com seis faces quadradas: três faces contêm um losango cinza, duas faces contêm um círculo branco e uma face contém um círculo preto preenchido.

A
\dfrac{1}{2}
B
\dfrac{11}{18}
C
\dfrac{2}{3}
D
\dfrac{5}{6}
E
\dfrac{31}{36}

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

As probabilidades de obter um quadrado cinza, um círculo branco ou um círculo preto em um lançamento desse dado são, respectivamente, \frac{3}{6} = \frac{1}{2}, \frac{2}{6} = \frac{1}{3} e \frac{1}{6}. A probabilidade de obter dois símbolos iguais em dois lançamentos consecutivos é então \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{14}{36} = \frac{7}{18}; segue que a probabilidade de obter dois símbolos distintos é 1 - \frac{7}{18} = \frac{11}{18}.

[Figura: Planificação de um dado com seis faces quadradas dispostas em formato de cruz: três faces contêm um losango cinza, duas contêm um círculo branco e uma contém um círculo preto.]

Uma segunda solução é como segue. Os mesmos dois símbolos distintos podem ser obtidos de duas maneiras diferentes em lançamentos consecutivos. Logo, a probabilidade de obtermos um quadrado cinza e um círculo branco é 2 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{3}, a probabilidade de obtermos um quadrado cinza e um círculo preto é 2 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{6} e a probabilidade de obtermos um círculo branco e um círculo preto é 2 \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{9}. Assim, a probabilidade de obtermos dois símbolos diferentes em lançamentos consecutivos é \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{9} = \frac{11}{18}.

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Resolução comentada

A figura mostra seis faces: 3 com losango, 2 com círculo branco e 1 com círculo preto. Como o dado é um cubo, cada face tem probabilidade \frac{1}{6} de sair, então:

losango: \frac{3}{6}=\frac{1}{2}
círculo branco: \frac{2}{6}=\frac{1}{3}
círculo preto: \frac{1}{6}

É mais fácil calcular o complementar: a probabilidade de os dois resultados serem iguais. Como os lançamentos são independentes, multiplicamos as probabilidades de cada lançamento e somamos os casos:

Dois losangos: \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}=\frac{9}{36}
Dois círculos brancos: \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{9}=\frac{4}{36}
Dois círculos pretos: \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{36}

Soma: \frac{9+4+1}{36}=\frac{14}{36}=\frac{7}{18}.

A probabilidade de resultados diferentes é:

1-\frac{7}{18}=\frac{11}{18}

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

ACorresponde apenas à probabilidade de sair losango em um lançamento, sem relação com o pedido.
CValor sem justificativa; não resulta do complementar de \frac{7}{18}.
DÉ a probabilidade de dois lançamentos diferentes se as seis faces tivessem símbolos distintos, ignorando as faces repetidas.
EConsidera só a coincidência de círculos pretos (\frac{1}{36}) e subtrai de 1, ignorando losangos e círculos brancos.

Assuntos: Eventos sucessivos e distribuição binomial, Probabilidade: conceitos básicos.

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Questão 14 no caderno Nível 3 da OBMEP 2013

Fonte: OBMEP 2013 · Nível 3. Prova oficial ↗