Questão 14 (Nível 2) da OBMEP 2013

Question

No primeiro estágio de um jogo, Pedro escreve o número 3 em um triângulo e o número 2 em um quadrado. Em cada estágio seguinte, Pedro escreve no triângulo a soma dos números do estágio anterior e no quadrado a diferença entre o maior e o menor desses números. Qual é o número escrito no triângulo do 56º estágio?

Ilustração mostrando o 1º estágio com o número 3 dentro de um triângulo azul e o número 2 dentro de um quadrado azul, e abaixo o início do estágio seguinte com 5 no triângulo e 1 no quadrado

A
3 \times 2^{26}
B
5 \times 2^{28}
C
5 \times 2^{56}
D
3 \times 2^{28}
E
5 \times 2^{27}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 14 (Nível 2) da OBMEP 2013

Nível 2 · Matemática: Sequências e padrões

No primeiro estágio de um jogo, Pedro escreve o número 3 em um triângulo e o número 2 em um quadrado. Em cada estágio seguinte, Pedro escreve no triângulo a soma dos números do estágio anterior e no quadrado a diferença entre o maior e o menor desses números. Qual é o número escrito no triângulo do 56º estágio?

Ilustração mostrando o 1º estágio com o número 3 dentro de um triângulo azul e o número 2 dentro de um quadrado azul, e abaixo o início do estágio seguinte com 5 no triângulo e 1 no quadrado

A
3 \times 2^{26}
B
5 \times 2^{28}
C
5 \times 2^{56}
D
3 \times 2^{28}
E
5 \times 2^{27}

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

A tabela ao lado apresenta alguns estágios do jogo. O padrão da coluna dos triângulos é evidente: no estágio 2k, o valor que aparece é 5 \times 2^{k-1}. Logo, o número que aparece no 56º triângulo é 5 \times 2^{27}.

Estágio	Triângulo	Quadrado
1	3	2
2	5	1
3	6 = 3 \times 2	4
4	10 = 5 \times 2	2
5	12 = 3 \times 2^2	8
6	20 = 5 \times 2^2	4
7	24 = 3 \times 2^3	16
8	40 = 5 \times 2^3	8

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Resolução comentada

Vamos calcular os primeiros estágios e procurar um padrão. Em cada estágio, o triângulo recebe a soma dos dois números anteriores e o quadrado recebe a diferença entre o maior e o menor.

1º estágio: (3, 2).
2º estágio: triângulo 3+2=5 e quadrado 3-2=1, ou seja, (5, 1).
3º estágio: triângulo 5+1=6 e quadrado 5-1=4, ou seja, (6, 4).
4º estágio: triângulo 6+4=10 e quadrado 6-4=2, ou seja, (10, 2).
5º estágio: triângulo 10+2=12 e quadrado 10-2=8, ou seja, (12, 8).
6º estágio: triângulo 20 e quadrado 4, ou seja, (20, 4).

Observe que a soma T+Q dobra a cada dois estágios? Vejamos. Se o par é (a,b) com a>b, o próximo é (a+b,\ a-b), e o seguinte é (2a,\ 2b), pois (a+b)+(a-b)=2a e (a+b)-(a-b)=2b. Então, a cada dois estágios, o par dobra.

Partindo do 2º estágio (5, 1), o par do estágio 2+2k é (5\cdot 2^k,\ 2^k). Conferindo: o 4º estágio é k=1, (10, 2), e o 6º é k=2, (20, 4). Está certo.

O 56º estágio é 2+2k com k=27. Logo, o triângulo vale 5\cdot 2^{27}.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

AUsa o 1º estágio (3, 2) como base e erra o expoente; não bate com nenhum estágio calculado.
BExpoente 28 é grande demais: o par dobra a cada dois estágios a partir do 2º, dando k=27.
CSupõe que o número dobra a cada estágio, usando 2^{56}.
DMistura a base 3 do 1º estágio com o expoente 28, sem correspondência com o padrão.

Assuntos: Sequências e padrões, Progressão geométrica.

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Questão 14 no caderno Nível 2 da OBMEP 2013

Fonte: OBMEP 2013 · Nível 2. Prova oficial ↗