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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 13 (Nível 1) da OBMEP 2013

Nível 1 · Matemática: Princípio fundamental da contagem

Ilustração de Carlinhos em frente a um quadro de avisos escolar, onde estão fixados em fileira cartões com os caracteres O, B, M, E, P, 2, 0, 1 e 3. Carlinhos aponta para o cartão com o número 3.

Carlinhos escreveu OBMEP2013 em cartões, que ele colocou enfileirados no quadro de avisos de sua escola. Ele quer pintar de verde ou amarelo os cartões com letras e de azul ou amarelo os cartões com algarismos, de modo que cada cartão seja pintado com uma única cor e que cartões vizinhos não tenham cores iguais. De quantas maneiras diferentes ele pode fazer a pintura?

  1. A
    2
  2. B
    3
  3. C
    6
  4. D
    7
  5. E
    12
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Resolução comentada

Resolução comentada

Os cartões, em ordem, são O, B, M, E, P, 2, 0, 1, 3. Letras só podem ser verde (V) ou amarelo (A); algarismos só podem ser azul (Z) ou amarelo (A). Cartões vizinhos não podem ter a mesma cor.

Letras (O, B, M, E, P): só há duas cores e vizinhas devem ser diferentes, então elas se alternam. Escolhida a cor de O, todas as outras ficam determinadas: V, A, V, A, V ou A, V, A, V, A.

Algarismos (2, 0, 1, 3): também só duas cores, então se alternam: Z, A, Z, A ou A, Z, A, Z.

Fronteira entre P e 2: são vizinhos, então não podem ser ambos amarelos. P é amarelo apenas na sequência A, V, A, V, A; o 2 é amarelo apenas na sequência A, Z, A, Z.

Contando as combinações:

  1. Letras V, A, V, A, V (P verde) com algarismos Z, A, Z, A: válido.
  2. Letras V, A, V, A, V com algarismos A, Z, A, Z: válido (P verde, 2 amarelo).
  3. Letras A, V, A, V, A (P amarelo) com algarismos Z, A, Z, A: válido (2 azul).
  4. Letras A, V, A, V, A com algarismos A, Z, A, Z: inválido, pois P e 2 seriam amarelos.

Total: 2\cdot 2 - 1 = 3 maneiras.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa A (ou 4 não listado) engana quem esquece a restrição entre P e 2: o produto 2\cdot2=4 inclui o caso inválido, em que ambos são amarelos.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Aconsidera só as escolhas de uma parte, ignorando que letras e algarismos têm duas opções cada.
  • Cconta 2 vezes 3 ou outras combinações sem a lógica de alternância, errando o total.
  • Dnão corresponde a nenhuma contagem válida das combinações.
  • Eignora que as cores devem alternar e a restrição entre P e 2.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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Ver como caiu na prova Questão 13 no caderno Nível 1 da OBMEP 2013

Fonte: OBMEP 2013 · Nível 1. Prova oficial ↗