Questão 14 (Nível 1) da OBMEP 2013

Question

A quantidade de água de uma melancia corresponde a 95\% de seu peso. Joaquim retirou água dessa melancia até que a quantidade de água correspondesse a 90\% de seu peso, que passou a ser 6\text{ kg}. Qual era o peso original da melancia?

A
6{,}5\text{ kg}
B
7\text{ kg}
C
8{,}5\text{ kg}
D
10\text{ kg}
E
12\text{ kg}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 14 (Nível 1) da OBMEP 2013

Nível 1 · Matemática: Porcentagem

A quantidade de água de uma melancia corresponde a 95\% de seu peso. Joaquim retirou água dessa melancia até que a quantidade de água correspondesse a 90\% de seu peso, que passou a ser 6\text{ kg}. Qual era o peso original da melancia?

A
6{,}5\text{ kg}
B
7\text{ kg}
C
8{,}5\text{ kg}
D
10\text{ kg}
E
12\text{ kg}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Aqui usaremos os termos peso e massa como sinônimos, para tornar o texto mais próximo da linguagem coloquial.

Uma melancia é constituída de duas partes: água e componentes sólidos (fibras, açúcares, etc.). Durante a desidratação somente ocorre perda de água; o peso dos demais componentes, antes e depois da desidratação, permanece o mesmo.

O enunciado diz que, após ser desidratada, a melancia pesa 6 kg, dos quais 90% correspondem a água; os 10% restantes, cujo peso é \frac{1}{10} \times 6 = \frac{6}{10} = 0{,}6\text{ kg}, correspondem aos componentes sólidos. Por outro lado, antes de ser desidratada, a melancia tinha 95% de água, logo ela continha 5% de componentes sólidos; como o peso desses componentes não muda, vemos que 5% do peso original da melancia era 0,6 kg. Portanto 10%, ou seja, a décima parte, do peso original da melancia era igual a 1,2 kg; logo, o peso original da melancia era 10 \times 1{,}2 = 12\text{ kg}.

A solução acima pode ser visualizada na figura a seguir, que consiste de dois retângulos que representam o peso da melancia antes e depois de ser desidratada; em ambos, o retângulo sombreado representa o peso dos componentes sólidos. No primeiro retângulo, o pequeno retângulo sombreado corresponde a 5% do peso da melancia, que corresponde então a 20 desses retângulos, pois 20 \times 5\% = 100\%. Já no segundo retângulo, o pequeno retângulo sombreado corresponde a 10% do peso da melancia, que corresponde então a 10 desses retângulos, pois 10 \times 10\% = 100\%. Logo o peso da melancia antes de ser desidratada (correspondente a 20 retângulos), era igual a duas vezes o peso da melancia após a desidratação (correspondente a 10 retângulos), ou seja, era 12 kg.

[Figura: Diagrama com duas barras retangulares subdivididas em partes verticais iguais. A barra superior, com o texto "melancia antes de ser desidratada", está dividida em 20 partes iguais (com uma cota superior indicando "20"), sendo a primeira sombreada e indicada como "5%". A barra inferior, com o texto "melancia após ser desidratada", está dividida em 10 partes iguais de mesmo tamanho que as da barra superior (com uma cota inferior indicando "10"), sendo a primeira sombreada e indicada como "10%".]

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

A ideia central: ao retirar água, a parte que não é água (a polpa seca) não muda. Então vamos acompanhar essa parte.

No final, a água é 90\% do peso de 6\text{ kg}, então a parte sem água é 10\% de 6:

0{,}10 \times 6 = 0{,}6\ \text{kg}

No início, a água era 95\% do peso, logo a parte sem água era 5\% do peso original P.
Como essa parte é a mesma nos dois momentos:

0{,}05\,P = 0{,}6

Resolvendo:

P = \frac{0{,}6}{0{,}05} = 12\ \text{kg}

Conferindo: com 12\text{ kg}, a água era 0{,}95 \times 12 = 11{,}4\text{ kg} e a parte sem água, 0{,}6\text{ kg}. Retirando 6\text{ kg} de água, sobram 5{,}4\text{ kg} de água e 0{,}6\text{ kg} de polpa, total 6\text{ kg}, com água igual a 5{,}4/6 = 90\%. Confere.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa D engana quem acha que a variação de 5 pontos percentuais se aplica diretamente ao peso, esquecendo que os percentuais são de totais diferentes.

Por que as outras alternativas estão erradas

ASoma só uma pequena quantidade ao peso final, sem usar que a parte sem água se mantém constante.
BValor sem base no cálculo; não preserva a massa de 0{,}6\text{ kg} de parte sólida.
CNão satisfaz 0{,}05P = 0{,}6; daria parte sólida de apenas 0{,}425\text{ kg}.
DResultado de raciocinar que 5 pontos percentuais a menos de água equivalem a retirar 4 kg, ignorando que os percentuais incidem sobre pesos diferentes.

Assunto: Porcentagem.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 14 no caderno Nível 1 da OBMEP 2013

Fonte: OBMEP 2013 · Nível 1. Prova oficial ↗