Questão 12 (Nível 1) da OBMEP 2013

Resolução comentada

O algarismo das dezenas depende só dos dois últimos algarismos de cada parcela, então basta olhar as unidades e as dezenas da soma.

As parcelas são 7, 77, 777, \ldots até a de 77 setes. Todas, a partir da segunda, terminam em 77. São 76 parcelas assim, mais a primeira, que vale 7.

1. Soma das 76 parcelas que terminam em 77, contando só os dois últimos algarismos: 76 \times 77 = 5852.
2. Somando a primeira parcela: 5852 + 7 = 5859.
3. Os dois últimos algarismos da soma total são os de 5859, ou seja, 59.

Por que isso vale: cada parcela é igual a um múltiplo de 100 mais 77 (ou 7 na primeira). Os múltiplos de 100 não alteram unidades nem dezenas, então só importa a soma 76\times 77 + 7.

O número formado pelos dois últimos algarismos é 59, logo o algarismo das dezenas é 5.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

• BResultado sem relação com a conta; aparece se errar a multiplicação 76\times77.
• CConsidera apenas o algarismo 7 comum às parcelas, sem somar as dezenas e os vai-uns.
• DErro de conta ao somar as parcelas, por exemplo usando 77 parcelas de 77 e não a de 7 separada.
• EConfunde o algarismo das dezenas com o das unidades (9) da soma final.

Assuntos: Sequências e padrões, Sistemas de numeração.