Questão 12 (Nível 3) da OBMEP 2013

Question

Duas formiguinhas partiram ao mesmo tempo e em direções diferentes de um mesmo vértice de um triângulo equilátero de lado 2\text{ cm}. Elas andaram sobre os lados do triângulo à velocidade de 1\text{ cm/s}, até retornar ao vértice inicial. Qual dos gráficos abaixo descreve a distância d entre as duas formiguinhas em função do tempo?

Duas formiguinhas percorrendo os lados de um triângulo equilátero, com um segmento de reta de comprimento d indicando a distância entre elas

A
B
C
D
E

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 (Nível 3) da OBMEP 2013

Nível 3 · Matemática: Triângulos: congruência e pontos notáveis

Duas formiguinhas partiram ao mesmo tempo e em direções diferentes de um mesmo vértice de um triângulo equilátero de lado 2\text{ cm}. Elas andaram sobre os lados do triângulo à velocidade de 1\text{ cm/s}, até retornar ao vértice inicial. Qual dos gráficos abaixo descreve a distância d entre as duas formiguinhas em função do tempo?

Duas formiguinhas percorrendo os lados de um triângulo equilátero, com um segmento de reta de comprimento d indicando a distância entre elas

A
B
C
D
E

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

As figuras abaixo mostram as posições relativas das formiguinhas em diferentes intervalos de tempo de 0s a 6s.

[Figura: quatro diagramas ilustrando o movimento de formiguinhas sobre os lados de um triângulo equilátero nos intervalos de 0s a 2s, 2s a 3s, 3s a 4s e 4s a 6s]

Na primeira figura, observamos que em qualquer instante o ponto de partida e as formiguinhas formam um triângulo equilátero; desse modo, de 0s a 2s, a distância entre as formiguinhas é igual à distância percorrida, ou seja, varia em 1cm/s.
Na segunda figura, vemos que as formiguinhas andam uma em direção à outra e que a distância entre elas decresce em 2cm/s; desse modo, elas vão se encontrar no ponto médio do lado do triângulo no instante 3s.
Na terceira figura elas já estão se afastando à velocidade de 2cm/s.
Na quarta figura elas estão retornando ao ponto de partida e, de modo análogo à primeira figura, a distância entre elas decresce em 1cm/s.

[Figura: gráfico da distância (em cm) em função do tempo (em s), formado por segmentos lineares ligando os pontos (0, 0), (2, 2), (3, 0), (4, 2) e (6, 0)]

Logo, o gráfico que melhor representa a distância entre as duas formigas em função do tempo é o da alternativa (D).

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Resolução comentada

As duas formiguinhas saem do mesmo vértice, em sentidos opostos, com velocidade de 1\ \text{cm/s}. Cada uma percorre o perímetro de 6\ \text{cm}, então o passeio dura 6\ \text{s}.

Em t segundos, cada uma andou t cm. Dividimos em três etapas:

De 0 a 2 s: as duas estão nos lados que saem do vértice inicial A, cada uma a t de A, e o ângulo entre os lados é 60^\circ. O triângulo formado por A e pelas duas formigas é isósceles com ângulo de 60^\circ no vértice, logo é equilátero e d=t. A distância cresce linearmente de 0 a 2 cm.
De 2 a 4 s: uma formiga já passou por B e a outra por C. Como elas andam em sentidos opostos, estão uma em cada lado do triângulo que sai de A rumo ao lado BC, simetricamente: ambas a t-2 de B e de C, respectivamente, no lado BC. Em t=3 elas se encontram no ponto médio de BC e d=0. Em t=2 e t=4 elas estão em B e C, com d=2. De 2 a 3 elas se aproximam sobre BC, e d=2-2(t-2), diminuindo linearmente de 2 a 0. De 3 a 4 elas se afastam, de 0 a 2.
De 4 a 6 s: voltam pelos lados até A, e o triângulo é equilátero de lado 6-t. Então d=6-t, decrescendo de 2 a 0.

O gráfico passa por (0,0), (2,2), (3,0), (4,2) e (6,0), o que corresponde ao gráfico D.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

ASupõe que a distância máxima ocorre em t=1, mas as formigas só chegam aos vértices B e C em t=2.
BTrata a distância como crescendo até t=3, ignorando que as formigas se encontram nesse instante.
CMantém d=2 constante entre 2 e 4 s, mas elas se aproximam e se encontram em t=3.
EA figura está cortada e não mostra o gráfico correto; não corresponde ao comportamento calculado.

Assuntos: Triângulos: congruência e pontos notáveis, Leitura e interpretação de gráficos.

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Questão 12 no caderno Nível 3 da OBMEP 2013

Fonte: OBMEP 2013 · Nível 3. Prova oficial ↗