Questão 11 (Nível 3) da OBMEP 2013

Question

Ana quer fazer duas aulas de natação por semana, uma de manhã e a outra à tarde. A escola de natação tem aulas de segunda a sábado às 9h, 10h e 11h e de segunda a sexta às 17h e 18h. De quantas maneiras distintas Ana pode escolher o seu horário semanal, de modo que ela não tenha suas aulas no mesmo dia nem em dias consecutivos?

A
96
B
102
C
126
D
144
E
180

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 11 (Nível 3) da OBMEP 2013

Nível 3 · Matemática: Princípio fundamental da contagem

Ana quer fazer duas aulas de natação por semana, uma de manhã e a outra à tarde. A escola de natação tem aulas de segunda a sábado às 9h, 10h e 11h e de segunda a sexta às 17h e 18h. De quantas maneiras distintas Ana pode escolher o seu horário semanal, de modo que ela não tenha suas aulas no mesmo dia nem em dias consecutivos?

A
96
B
102
C
126
D
144
E
180

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Vamos dividir os possíveis horários de Ana em dois casos: (1) se ela tem aula aos sábados e (2) se ela não tem aula aos sábados.

No caso (1), ela deve escolher sua aula de sábado (3 possibilidades) e depois sua aula à tarde (2 possibilidades) em algum dia de segunda a quinta (4 possibilidades). Temos então 3 \times 2 \times 4 = 24 horários possíveis nesse caso.

No caso (2), ela deve escolher dois dias não consecutivos da semana (6 possibilidades), escolher um deles para ter aula pela manhã (2 possibilidades; automaticamente, no outro dia escolhido ela terá aula à tarde), escolher seu horário da manhã (3 possibilidades) e seu horário da tarde (2 possibilidades). Temos então 6 \times 2 \times 3 \times 2 = 72 horários possíveis nesse caso.

No total, Ana tem 24 + 72 = 96 horários possíveis para fazer suas aulas com as restrições do enunciado.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

Ana escolhe uma aula da manhã (segunda a sábado, 3 horários por dia) e uma da tarde (segunda a sexta, 2 horários por dia). Os horários só importam junto com o dia, então contamos pares de dias permitidos e depois multiplicamos pelos horários: 3\times 2=6 combinações de horário para cada par de dias.

Dias da manhã: 6 opções (seg a sáb). Dias da tarde: 5 opções (seg a sex). Total de pares de dias: 6\times5=30.
Pares proibidos: mesmo dia ou dias consecutivos.

Mesmo dia: seg a sex, 5 pares.
Tarde um dia depois da manhã (manhã seg a qui, tarde ter a sex): manhã seg, ter, qua, qui, sex gera tarde ter, qua, qui, sex e, para a manhã de sexta, tarde de sábado não existe. Logo são 4 pares.
Tarde um dia antes da manhã: tarde seg a sex com manhã ter a sáb, 5 pares.

Total de proibidos: 5+4+5=14.

Pares de dias permitidos: 30-14=16.
Para cada par, os horários: 3\times2=6.

16\times 6=96

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BConta errada dos pares de dias proibidos, sem chegar a 16 pares permitidos.
CNão chega a 21 pares permitidos; remove poucos pares proibidos.
DDesconta apenas parte dos pares proibidos (24 pares permitidos), por exemplo ignorando um dos lados dos dias consecutivos.
ECorresponde a 30 pares de dias, só tirando o mesmo dia ou ignorando restrições, sem excluir os dias consecutivos corretamente.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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Questão 11 no caderno Nível 3 da OBMEP 2013

Fonte: OBMEP 2013 · Nível 3. Prova oficial ↗