Questão 9 (Nível 3) da OBMEP 2012

Resolução comentada

Em um quadrado mágico 5\times5 com os números de 1 a 25, a soma total é \frac{25\cdot 26}{2}=325. São 5 linhas com a mesma soma, então cada linha, coluna ou diagonal soma 325/5=65.

Pela figura, as casas cinzentas são: na linha 1, as colunas 2 e 4; na linha 5, as colunas 2 e 4; na coluna 1, as linhas 2 e 4; na coluna 5, as linhas 2 e 4. São 8 casas.

Agora olhe as linhas e colunas que contêm casas cinzentas:

1. Some as linhas 1 e 5: cada uma tem 2 cinzentas, e a soma é 65+65=130.
2. Some as colunas 1 e 5: cada uma tem 2 cinzentas, e a soma é 130.
3. As linhas 1 e 5 e as colunas 1 e 5 juntas somam 260. Nessa soma, cada cinzenta aparece uma vez, e os 4 cantos aparecem duas vezes (cada canto está numa linha e numa coluna da borda).

As casas cinzentas somam 104. Então 260 = 104 + (\text{brancas das bordas, sem os cantos}) + 2\cdot(\text{cantos}). As casas das bordas que não são cantos nem cinzentas são as 4 do meio de cada lado, ou seja, as casas (1,3),(3,1),(3,5),(5,3).

Seja C a soma dos cantos e M a soma dos meios das bordas. Então 104+M+2C=260, ou seja, M+2C=156.

As duas diagonais somam 130 e incluem os cantos e o centro duas vezes: C+2\cdot x+(\text{casas }(2,2),(2,4),(4,2),(4,4))=130.

A soma das bordas é 104+M+C. A borda tem 16 casas: 8 cinzentas, 4 cantos e 4 meios. A soma do anel interno 3\times3 é 325-(104+M+C).

Use a linha e a coluna do meio: elas somam 130=M+(\text{3 casas internas de cada}), com o centro contado duas vezes. Linha 3 e coluna 3: 130 = M + (\text{4 casas internas vizinhas ao centro}) + 2x.

O anel interno é composto por 4 casas diagonais D, 4 casas vizinhas V e o centro x. Diagonais: C+D+x=130. Linha e coluna do meio: M+V+2x=130. Total: 104+C+M+D+V+x=325, logo C+M+D+V+x=221.

Somando as duas equações: C+D+M+V+3x=260. Subtraindo: 2x=39, o que não é inteiro; portanto, a leitura das diagonais precisa ser revista: a soma das diagonais conta 2x (centro nas duas), então C+D+2x=130.

Refazendo, a soma das duas diagonais é C+D+2x=130. Somando com M+V+2x=130: C+D+M+V+4x=260. Subtraindo C+M+D+V+x=221: 3x=39, x=13.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

• BValor que não resulta de 3x=39; vem de erro na contagem do centro nas somas.
• CSeria a média 65/5·... sem usar a soma das cinzentas; não satisfaz 3x=39.
• DNão satisfaz 3x=39; resulta de contar o centro errado.
• ENão satisfaz 3x=39; ignora o dado das casas cinzentas.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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