Questão 8 (Nível 3) da OBMEP 2012

Resolução comentada

Seja AD = 1 (lado dos quadrados) e AB = x. Os dois quadrados ocupam 2 unidades da base, então o retângulo menor BCFE tem lados EB = x - 2 e BC = 1.

Duas figuras são semelhantes quando a razão entre o lado maior e o lado menor é a mesma. Em ABCD, a razão é \frac{AB}{AD} = x. Em BCFE, o lado maior é BC = 1 e o menor é x-2, então a razão é \frac{1}{x-2}.

Igualando:

1. x = \dfrac{1}{x-2}
2. x(x-2) = 1
3. x^2 - 2x - 1 = 0

Pela fórmula de Bhaskara:

Como x > 0 (e precisa ser maior que 2 para existir o retângulo menor), ficamos com x = 1+\sqrt{2} \approx 2{,}41.

A razão de prata é 1+\sqrt{2}.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ARazão 1 corresponde a um quadrado, que não comporta dois quadrados mais um retângulo.
• B\sqrt{2} é a razão do retângulo A4 e é menor que 2, impossível aqui.
• D\sqrt{3} não satisfaz x^2-2x-1=0 e é menor que 2.
• E1+\sqrt{3}\approx 2{,}73 viria de x^2-2x-2=0, equação errada.

Assunto: Semelhança e Teorema de Tales.

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