Questão 10 (Nível 3) da OBMEP 2012

Question

Na figura, ABCD é um quadrado de lado 1 e os arcos \overgroup{BD} e \overgroup{AC} têm centros A e B, respectivamente. Os círculos tangenciam esses arcos e um lado do quadrado, como indicado. Qual é a razão entre os raios do círculo maior e do círculo menor?

Quadrado ABCD com lado inferior AB e superior DC. Dois arcos de circunferência, com centros em A e B, cruzam-se internamente. Um círculo maior tangencia o lado inferior AB e os dois arcos. Um círculo menor tangencia o lado superior DC e os arcos.

A
4,5
B
5
C
5,5
D
6
E
6,5

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 (Nível 3) da OBMEP 2012

Nível 3 · Matemática: Circunferência: ângulos, cordas e tangência

Na figura, ABCD é um quadrado de lado 1 e os arcos \overgroup{BD} e \overgroup{AC} têm centros A e B, respectivamente. Os círculos tangenciam esses arcos e um lado do quadrado, como indicado. Qual é a razão entre os raios do círculo maior e do círculo menor?

Quadrado ABCD com lado inferior AB e superior DC. Dois arcos de circunferência, com centros em A e B, cruzam-se internamente. Um círculo maior tangencia o lado inferior AB e os dois arcos. Um círculo menor tangencia o lado superior DC e os arcos.

A
4,5
B
5
C
5,5
D
6
E
6,5

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Na figura, marcamos o centro O do círculo maior e o ponto de tangência M desse círculo como lado AB. Por simetria, M é também o ponto médio de AB e assim AM = \frac{1}{2}. Marcamos também o ponto de tangência T do círculo maior com o círculo de centro A; é sabido que os pontos A, O e T estão alinhados. Seja r o raio do círculo maior. Então AO = 1-r e o teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo AMO nos dá (1-r)^2 = r^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2; segue que r = \frac{3}{8}. O raciocínio análogo, aplicado ao triângulo BMP, onde P é o centro do círculo menor, mostra que (1+s)^2 = (1-s)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2, onde s é o raio do círculo menor. Segue que s = \frac{1}{16} e logo \frac{r}{s} = 6.

[Figura: Quadrado ABCD contendo arcos de circunferência centrados nos vértices A e B. No interior, há um círculo maior com centro O tangente ao lado AB no ponto médio M e aos dois arcos (mostrando o ponto de tangência T e o segmento tracejado OT alinhado com AO). No topo, há um círculo menor com centro P tangente ao lado CD e aos dois arcos. Segmentos de reta formam os triângulos AMO e BMP.]

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Resolução comentada

Coloque A=(0,0), B=(1,0), C=(1,1), D=(0,1). O arco BD tem centro A e raio 1; o arco AC tem centro B e raio 1. Por simetria, os centros dos dois círculos ficam na reta x=\frac12.

Círculo maior (raio R): tangencia AB, então seu centro é (\frac12, R). Ele é tangente interno aos arcos, que têm raio 1, então a distância até A vale 1-R:

\left(\tfrac12\right)^2+R^2=(1-R)^2
\tfrac14+R^2=1-2R+R^2
2R=\tfrac34, logo R=\tfrac38.

Círculo menor (raio r): tangencia DC, então seu centro é (\frac12, 1-r). Ele é tangente externo ao arco de centro A, então a distância até A vale 1+r:

\left(\tfrac12\right)^2+(1-r)^2=(1+r)^2
\tfrac14+1-2r+r^2=1+2r+r^2
\tfrac14=4r, logo r=\tfrac1{16}.

Razão:

\frac{R}{r}=\frac{3/8}{1/16}=6

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

AResultado sem base nas equações de tangência; não corresponde a R/r=6.
BProvável erro ao calcular um dos raios, por exemplo usar distância errada até A.
CValor intermediário sem respaldo nos cálculos corretos de R=3/8 e r=1/16.
EValor sem respaldo; os raios corretos dão razão exatamente 6.

Assunto: Circunferência: ângulos, cordas e tangência.

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Questão 10 no caderno Nível 3 da OBMEP 2012

Fonte: OBMEP 2012 · Nível 3. Prova oficial ↗