Questão 9 (Nível 2) da OBMEP 2012

Resolução comentada

Na figura, cada triângulo pequeno é feito com 3 palitos e os triângulos não compartilham palitos (estão apenas encostados nos vértices). Então basta contar quantos triângulos pequenos a figura tem.

A figura 1 tem 1 triângulo, a 2 tem 1+2=3 e a 3 tem 1+2+3=6. Na figura de lado n (com n triângulos na base), o total de triângulos pequenos é

Cada um usa 3 palitos, logo o número de palitos é

1. Divida por 3: \frac{n(n+1)}{2}=45.
2. Multiplique por 2: n(n+1)=90.
3. Como 9\cdot10=90, temos n=9.

O lado do triângulo grande tem 9 triângulos pequenos, e cada lado de triângulo pequeno é 1 palito. Assim, o lado é formado por 9 palitos.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ACom 6 na base haveria 21 triângulos e 63 palitos, bem menos que 135.
• BCom 7 na base haveria 28 triângulos e 84 palitos.
• CCom 8 na base haveria 36 triângulos e 108 palitos.
• ECom 10 na base haveria 55 triângulos e 165 palitos, passando de 135.

Assunto: Sequências e padrões.

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