Questão 8 (Nível 2) da OBMEP 2012

Question

A figura foi formada por oito trapézios isósceles idênticos, cuja base maior mede 10\text{ cm}. Qual é a medida, em centímetros, da base menor de cada um desses trapézios?

Figura geométrica composta por oito trapézios isósceles idênticos que formam um hexágono dividido por um segmento horizontal central

A
4
B
4,5
C
5
D
5,5
E
6

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 8 (Nível 2) da OBMEP 2012

Nível 2 · Matemática: Ângulos, polígonos e quadriláteros

A figura foi formada por oito trapézios isósceles idênticos, cuja base maior mede 10\text{ cm}. Qual é a medida, em centímetros, da base menor de cada um desses trapézios?

Figura geométrica composta por oito trapézios isósceles idênticos que formam um hexágono dividido por um segmento horizontal central

A
4
B
4,5
C
5
D
5,5
E
6

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Solução oficial da OBMEP

[Figura: Representação geométrica de três trapézios justapostos, com vértices A, Q, B no topo, F e E na junção intermediária, e P, D, C na base, indicando prolongamentos tracejados FP e EQ, além de ângulos obtusos congruentes assinalados em F e E.]

A figura ao lado mostra uma parte do hexágono formada por três trapézios. Prolongamos os segmentos AF e DE para obter os pontos P e Q, como indicado. Como os trapézios são idênticos, os ângulos assinalados são iguais; segue que AP e QD são paralelos. Como PD e EF, sendo bases de um trapézio, também são paralelos, segue que PDEF é um paralelogramo; em particular, temos PF = DE. Da igualdade dos trapézios temos AF = DE = EF e concluímos que AP = 2EF. Notamos agora que APCB também é um paralelogramo; logo BC = AP = 2EF e como BC = 10 segue que EF = 5.

[Figura: Hexágono composto por trapézios congruentes ao redor de uma cavidade hexagonal central, destacando os ângulos \alpha e \beta, os vértices A, B, C, D, E e uma linha tracejada horizontal passando por C e B.]

Outra solução é a seguinte. Como os trapézios são idênticos, o hexágono que eles formam é regular. Como o ângulo interno \alpha desse hexágono mede 120^\circ, o ângulo \beta mede \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ. Logo o triângulo ABC é equilátero; como AC = CD temos BC = CD e segue que o paralelogramo BCDE é um losango. Assim, B é o ponto médio de AE e então AC = BE = \frac{1}{2} AE = \frac{1}{2} \times 10 = 5\text{ cm}.

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Resolução comentada

Pela figura, os oito trapézios formam um hexágono regular grande com um hexágono regular menor no centro. O hexágono central é dividido por uma diagonal horizontal em dois trapézios, e os outros seis trapézios formam a moldura ao redor dele.

Vamos chamar de b a base menor e de B=10 a base maior. Os ângulos do trapézio são 60^\circ e 120^\circ, porque os trapézios se encaixam em hexágonos regulares.

Cada trapézio do anel tem a base menor no hexágono interno e a base maior no lado do hexágono externo. O lado do hexágono interno vale b e o do externo vale 10.
Na parte de cima, a diagonal horizontal que passa pelo centro mede o dobro do lado do hexágono. Na figura, ela vai de vértice a vértice do hexágono externo e mede 2\cdot 10=20.
Essa diagonal é formada por: um lado inclinado de um trapézio, as bases maiores dos dois trapézios centrais e outro lado inclinado. Os trapézios centrais têm a base maior de 10 na diagonal e a base menor b no topo. Logo, a diagonal central do hexágono interno tem 2b e as laterais completam o resto.
Cada lado inclinado do trapézio mede L. Com ângulos de 60^\circ, a projeção do lado inclinado sobre a base é L/2. Então 10 = b + 2\cdot\dfrac{L}{2} = b + L.
O topo do hexágono grande é formado por L, b e L na horizontal, com lado externo igual a 10 (o trapézio do topo tem base maior 10 em cima). Pela figura, o lado do hexágono externo é 10=L+b, que é a mesma equação do passo 4.
Falta uma segunda relação: o hexágono interno tem lado L e a base menor b do trapézio central é esse lado, então L=b. Substituindo: 10=b+b, o que daria b=5.

A base menor mede 5 cm.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor menor que 5, que não satisfaz b+L=10 com L=b.
BValor sem relação com a divisão da base de 10 cm em duas partes iguais.
DValor maior que 5, que faria b+L>10.
EValor maior que 5, que faria b+L>10.

Assunto: Ângulos, polígonos e quadriláteros.

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Questão 8 no caderno Nível 2 da OBMEP 2012

Fonte: OBMEP 2012 · Nível 2. Prova oficial ↗