Questão 10 (Nível 2) da OBMEP 2012

Resolução comentada

Queremos algarismos A e B diferentes tais que A \times A + A = AB, ou seja, A^2 + A = 10A + B.

Como A^2 + A = A(A+1) é o produto de dois números consecutivos, basta testar os valores de A que dão resultado com dois algarismos e começando pelo próprio A:

1. A=1: 1\cdot 2 = 2, que tem um algarismo. Não serve.
2. A=2: 2\cdot 3 = 6. Não serve.
3. A=3: 3\cdot 4 = 12, começa com 1, não com 3. Não serve.
4. A=4: 4\cdot 5 = 20, começa com 2. Não serve.
5. A=5: 5\cdot 6 = 30, começa com 3. Não serve.
6. A=6: 6\cdot 7 = 42, começa com 4. Não serve.
7. A=7: 7\cdot 8 = 56, começa com 5. Não serve.
8. A=8: 8\cdot 9 = 72, começa com 7. Não serve.
9. A=9: 9\cdot 10 = 90. Começa com 9, então AB = 90, A=9, B=0. Serve, e os algarismos são diferentes.

Pode-se também resolver algebricamente: A^2 + A = 10A + B \Rightarrow A^2 - 9A = B, ou A(A-9)=B. Como B \ge 0 e A\le 9, só dá A=9 e B=0.

Logo B \times B + B = 0\cdot 0 + 0 = 0.

Agora veja qual alternativa vale 0: A = 9, B = 0, AB = 90, AA = 99, ABA = 909. Só B vale 0.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AA=9, mas o resultado é 0, não 9.
• CAB=90, e o resultado é 0; confunde com o valor de A\times A+A.
• DAA=99, que não é 0.
• EABA=909, que não é 0.

Assunto: Sistemas de numeração.

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