Questão 6 (Nível 3) da OBMEP 2012

Question

Dois pontos na superfície de um cubo são opostos se o segmento de reta que os liga passa pelo centro do cubo. Na figura vemos uma planificação de um cubo, na qual as faces destacadas em cinzento foram divididas em nove quadradinhos iguais. Quando o cubo for montado, qual será o ponto oposto ao ponto P?

Planificação de um cubo com quatro faces quadradas alinhadas horizontalmente. Acima da quarta face (à direita), há uma face cinza dividida em uma grade 3x3 de quadradinhos, com um ponto P marcado na interseção de linhas internas. Abaixo da terceira face, há uma face cinza parcialmente visível mostrando os rótulos D e C.

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Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Nível 3) da OBMEP 2012

Nível 3 · Matemática: Vistas, projeções e planificações

Dois pontos na superfície de um cubo são opostos se o segmento de reta que os liga passa pelo centro do cubo. Na figura vemos uma planificação de um cubo, na qual as faces destacadas em cinzento foram divididas em nove quadradinhos iguais. Quando o cubo for montado, qual será o ponto oposto ao ponto P?

Planificação de um cubo com quatro faces quadradas alinhadas horizontalmente. Acima da quarta face (à direita), há uma face cinza dividida em uma grade 3x3 de quadradinhos, com um ponto P marcado na interseção de linhas internas. Abaixo da terceira face, há uma face cinza parcialmente visível mostrando os rótulos D e C.

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Na planificação original, à esquerda na figura, observamos que os segmentos destacados formam uma aresta do cubo; desse modo, podemos substituir essa planificação pela que aparece à direita.

[Figura: Duas planificações de cubo lado a lado. À esquerda, a planificação original em que dois segmentos em destaque indicam a junção de arestas, com uma face superior e uma inferior divididas em malhas 3 \times 3, contendo o ponto P na face superior e os pontos A, B, C, D e E na face inferior. À direita, a planificação equivalente com a face superior deslocada para cima da face rotulada como I, e a face à sua esquerda rotulada como II.]

Observamos então que, ao montar o cubo, os pontos P, D e C ficarão à mesma distância da face I, logo nem C nem D são opostos de P. Do mesmo modo, os pontos P e A ficarão à mesma distância da face II, logo A não é o oposto de P. Finalmente, o ponto E é o oposto do ponto central da face onde aparece o ponto P; assim, o oposto de P é o ponto B.

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Resolução comentada

Dois pontos opostos são simétricos em relação ao centro do cubo: o centro é o ponto médio do segmento que os une. Assim, o ponto procurado fica na outra face cinzenta.

Considere a aresta do cubo igual a 1. Na face cinzenta inferior, tome o canto superior esquerdo da planificação como origem, com x crescendo para a direita e y crescendo para baixo. Depois da montagem, essa face pode ser representada por z=0.

Ao dobrar a planificação, a face que contém P fica em z=1. A posição marcada corresponde a

P=\left(\frac13,\frac13,1\right).

Como o centro do cubo é O=(\frac12,\frac12,\frac12), o ponto oposto Q satisfaz Q=2O-P. Portanto,

Q=\left(\frac23,\frac23,0\right).

Na face cinzenta inferior da planificação, procure a interseção da segunda linha vertical interna, contando da esquerda, com a segunda linha horizontal interna, contando de cima.

A imagem está cortada antes dessa interseção e não permite identificar sua letra. É necessário enviar a parte inferior da figura para determinar a alternativa sem adivinhar.

Assunto: Vistas, projeções e planificações.

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Questão 6 no caderno Nível 3 da OBMEP 2012

Fonte: OBMEP 2012 · Nível 3. Prova oficial ↗