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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Nível 3) da OBMEP 2012

Nível 3 · Matemática: Leitura e interpretação de gráficos

Dois carros A e B partem de Quixajuba, ao mesmo tempo, pela estrada que vai para Pirajuba. No gráfico ao lado, a linha contínua e a linha pontilhada representam, respectivamente, a distância de A e B a Quixajuba, ao longo da estrada, em função do tempo.

Gráfico da distância a Quixajuba (em km) em função do tempo (em h) dos carros A (linha contínua) e B (linha tracejada). O carro A vai de (0, 0) a (1, 100), fica constante até (4, 100) e desce a (5, 50). O carro B vai em linha reta de (0, 0), passando por (2, 50) e (4, 100), até (5, 150).

Qual dos gráficos abaixo representa a distância entre os dois carros, ao longo da estrada, em função do tempo?

Gráficos das alternativas de A a E mostrando a distância em km em função do tempo em h: A vai de (0,0) a (1,75), desce a (4,0) e sobe a (5,100); B vai de (0,0) a (1,75), desce a (4,50) e sobe a (5,100); C vai de (0,0) a (1,75), sobe a (4,100) e fica constante até 5; D vai de (0,0) a (1,50), desce a (4,0) e sobe a (5,75); E vai de (0,0) a (1,75), fica constante até 3, desce a (4,0) e sobe a (5,100).

As alternativas estão no enunciado, acima.

  1. A
  2. B
  3. C
  4. D
  5. E
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A distância entre os carros em cada instante é o módulo da diferença entre as posições: d(t)=|A(t)-B(t)|. Como os dois gráficos são formados por segmentos de reta, basta calcular d nos instantes em que um deles muda de direção (1, 4 e 5 h) e ligar os pontos.

Primeiro, a posição de B: ele anda com velocidade constante de 25\ \text{km/h} (50 km a cada 2 h), então B(t)=25t.

  1. t=0: os dois estão em Quixajuba, então d=0.
  2. t=1: A=100 e B=25, então d=100-25=75\ \text{km}.
  3. Entre 1 h e 4 h, A está parado em 100 km e B avança de 25 km a 100 km. A distância diminui de forma linear, de 75 km até d(4)=100-100=0. Os carros se encontram em t=4.
  4. t=5: A=50 e B=150, então d=150-50=100\ \text{km}.

O gráfico procurado passa por (0,0), (1,75), (4,0) e (5,100). Ele sobe até 75, desce em linha reta até 0 em t=4 e depois sobe até 100.

Isso corresponde ao gráfico da alternativa A. Na E, a distância ficaria constante até 3 h, o que não ocorre, porque B se move o tempo todo.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa E engana quem pensa que, com A parado, a distância fica constante; mas B segue andando e a diferença diminui o tempo todo.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BMostra distância 50 km em t=4, mas nesse instante os carros estão juntos (ambos em 100 km), então d=0.
  • CTrata a distância como crescente até 100 km, sem perceber que B alcança A em t=4.
  • DUsa 50 km em t=1 e 75 km em t=5, mas os valores corretos são 75 km e 100 km.
  • EMantém a distância constante entre 1 h e 3 h, mas B avança e a distância diminui continuamente.

Assunto: Leitura e interpretação de gráficos.

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Ver como caiu na prova Questão 5 no caderno Nível 3 da OBMEP 2012

Fonte: OBMEP 2012 · Nível 3. Prova oficial ↗