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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 (Nível 3) da OBMEP 2012

Nível 3 · Matemática: Permutações

Cinco cartas, inicialmente dispostas como na figura, serão embaralhadas. Em cada embaralhamento, a primeira carta passa a ser a segunda, a segunda passa a ser a quarta, a terceira passa a ser a primeira, a quarta passa a ser a quinta e a quinta passa a ser a terceira. Qual será a primeira carta após 2012 embaralhamentos?

Figura mostrando duas fileiras de cinco cartas do naipe de paus cada. A fileira superior, intitulada "Posição inicial", mostra da esquerda para a direita as cartas A, 2, 3, 4 e 5. A fileira inferior, intitulada "Posição após o primeiro embaralhamento", mostra da esquerda para a direita as cartas 3, A, 5, 2 e 4.

  1. A
    Carta A de paus.
  2. B
    Carta 2 de paus.
  3. C
    Carta 3 de paus.
  4. D
    Carta 4 de paus.
  5. E
    Carta 5 de paus.
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Resolução comentada

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Vamos acompanhar a posição de cada carta. A regra diz: a carta da posição 1 vai para a 2, a da 2 vai para a 4, a da 3 vai para a 1, a da 4 vai para a 5 e a da 5 vai para a 3.

Isso forma um ciclo: 1\to2\to4\to5\to3\to1. Ele tem 5 posições, então depois de 5 embaralhamentos todas as cartas voltam ao lugar de origem.

Assim, só importa o resto de 2012 na divisão por 5:

2012 = 5\cdot 402 + 2

Logo, 2012 embaralhamentos equivalem a apenas 2 embaralhamentos.

Como queremos a carta que fica na posição 1 no final, basta voltar no ciclo. Quem chega à posição 1 em um passo vem da posição 3. Quem chega à posição 3 vem da posição 5.

Portanto, depois de 2 embaralhamentos, na posição 1 está a carta que começou na posição 5.

Conferindo com a figura: após o 1º embaralhamento temos 3, A, 5, 2, 4. No 2º, a primeira posição recebe a carta que estava na terceira, que é o 5.

A carta inicial da posição 5 é o 5 de paus.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AÉ a primeira carta da posição inicial, como se 2012 fosse múltiplo de 5 (resto 0).
  • BTrata a carta 2 como a primeira; erra ao seguir a carta, não a posição, ou usa o sentido contrário do ciclo.
  • CÉ a primeira carta após apenas 1 embaralhamento (resto 1).
  • DSeria a primeira carta após 3 embaralhamentos ou aplica o ciclo no sentido errado.

Assunto: Permutações.

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Ver como caiu na prova Questão 4 no caderno Nível 3 da OBMEP 2012

Fonte: OBMEP 2012 · Nível 3. Prova oficial ↗