Questão 3 (Nível 3) da OBMEP 2012

Question

Júlio escreveu todos os números de 1 a 1000. Depois ele apagou o número 3 e, em ordem crescente, prosseguiu apagando os números que eram soma de dois números não apagados. Quantos números restaram quando Júlio terminou a tarefa?

Sequência de números de 1 a 8 seguida de reticências, com os números 3, 5, 6 e 8 cobertos por traços brancos, e os números 1, 2, 4 e 7 visíveis.

A
333
B
335
C
337
D
340
E
345

Answer 1

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Questão 3 (Nível 3) da OBMEP 2012

Nível 3 · Matemática: Sequências e padrões

Júlio escreveu todos os números de 1 a 1000. Depois ele apagou o número 3 e, em ordem crescente, prosseguiu apagando os números que eram soma de dois números não apagados. Quantos números restaram quando Júlio terminou a tarefa?

Sequência de números de 1 a 8 seguida de reticências, com os números 3, 5, 6 e 8 cobertos por traços brancos, e os números 1, 2, 4 e 7 visíveis.

A
333
B
335
C
337
D
340
E
345

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

[Figura: Sequência dos números de 1 a 19 em que os números 3, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 15, 17 e 18 aparecem cobertos por rabiscos, e apenas 1, 2, 4, 7, 10, 13, 16 e 19 permanecem visíveis.]

Apagando alguns números a mais, obtemos a figura acima e notamos o seguinte padrão: os números que não são apagados são 1, 2 e os da forma 3n+1 para n \ge 1. Para verificar que esse padrão se estende até 1000, distribuímos os números de 1 a 1000 na seguinte tabela:

\boldsymbol{n}	3n+1	3n+2	3(n+1)
0	1	2	3
1	4	5	6
2	7	8	9
3	10	11	12
4	13	14	15
\vdots	\vdots	\vdots
332	997	998	999
333	1000

A primeira coluna lista os números que deixam resto 1 quando divididos por 3, isto é, os números da forma 3n+1; analogamente, a segunda coluna lista os números que deixam resto 2 quando divididos por 3 e a terceira lista os múltiplos de 3; as casas de cor cinza indicam número apagados. O padrão indicado até n=4 se repete até o final da tabela. De fato, para n=5, o número da primeira coluna só será apagado caso ele seja soma de dois números não apagados anteriormente; mas isso não pode acontecer, pois

a soma de um número anterior da primeira coluna com 2 está na terceira coluna:
(3n+1)+2=3(n+1) e
a soma dois números anteriores da primeira coluna está na segunda coluna:
(3m+1)+(3n+1)=3(m+n)+2.

Assim, o próximo número da primeira coluna, que é da forma 3n+1, não será apagado e os números 3n+2=(3n+1)+1 e (3(n+1)=(3n+1)+2, à sua direita, serão apagados. Usando esse argumento linha após linha, vemos que os números não apagados na tabela serão exatamente os números da primeira coluna. Na tabela vemos que há 333 números da forma 3n+1 entre 4 e 1000, incluindo os extremos. Acrescentando os números 1 e 2, obtemos 335 números não apagados.

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Resolução comentada

Regra: só se apaga um número que seja soma de dois números diferentes que ainda não foram apagados. A figura mostra isso, pois o 4 não foi apagado (ele só seria 2+2, ou 1+3 com o 3 já apagado).

Acompanhe os primeiros números:

Ficam 1 e 2, e o 3 foi apagado.
O 4 fica, pois 1+3 não vale.
Apagam-se 5=1+4 e 6=2+4.
O 7 fica: 1+6, 2+5 e 3+4 usam números apagados.
Apagam-se 8=1+7 e 9=2+7.
O 10 fica, pelo mesmo motivo do 7.
Apagam-se 11=1+10 e 12=2+10.

O padrão é que ficam 1, 4, 7, 10, 13, ..., que são os números da forma 3k+1, além do 2.

Por que isso se mantém? Cada número que fica deixa resto 1 na divisão por 3. A soma de dois deles deixa resto 2, então não apaga nenhum outro número que fica. Já todo número de resto 2 maior que 2 é 1+(3k+1), e todo múltiplo de 3 maior que 3 é 2+(3k+1). Assim, todos esses são apagados.

Contagem: os números 1,4,7,\ldots,1000 formam uma PA de razão 3, com

\frac{1000-1}{3}+1=334

termos. Somando o número 2, restam 334+1=335.

Alternativa B.

Pegadinha: Esquecer que o 2 também sobrou (ele não é soma de dois números distintos) leva a 334, e contar mal os termos da PA leva a 333 ou 337.

Por que as outras alternativas estão erradas

AConta só os 333 múltiplos de 3 (ou esquece o 2 e erra a quantidade de termos da PA).
CSoma indevidamente mais dois números ao total, sem base no padrão.
DNão corresponde à contagem: a PA 1, 4, ..., 1000 tem 334 termos, mais o número 2.
ESupera o total possível e não segue o padrão 3k+1 mais o número 2.

Assunto: Sequências e padrões.

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Questão 3 no caderno Nível 3 da OBMEP 2012

Fonte: OBMEP 2012 · Nível 3. Prova oficial ↗