Questão 12 (Nível 2) da OBMEP 2012

Resolução comentada

Vamos acompanhar a carta que está na posição 1 a cada embaralhamento. A regra diz: a carta da posição 1 vai para a 2, a da 2 vai para a 4, a da 3 vai para a 1, a da 4 vai para a 5 e a da 5 vai para a 3.

Para saber quem fica na posição 1, basta ver de onde ela vem: sempre da posição 3. A posição 3 recebe a carta da posição 5, a posição 5 recebe a da 4, a 4 recebe a da 2, e a 2 recebe a da 1.

Assim, as posições formam um ciclo de tamanho 5: 1\to2\to4\to5\to3\to1. Depois de 5 embaralhamentos, tudo volta à posição inicial.

1. Calcule o resto: 2012 = 5\cdot 402 + 2, então 2012 embaralhamentos equivalem a 2.
2. Basta fazer 2 embaralhamentos a partir de A, 2, 3, 4, 5.
3. Após o 1º: 3, A, 5, 2, 4 (dado na figura).
4. Após o 2º: a nova posição 1 recebe a carta que estava na posição 3, que é o 5. Logo a primeira carta é 5.

Conferindo: depois do 2º embaralhamento a ordem é 5, 3, 4, A, 2, e a primeira carta é o 5.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AÉ a primeira carta após 0 ou 5 embaralhamentos (posição inicial), ignorando o resto 2.
• BNão corresponde à primeira posição após 2 embaralhamentos; aparece só na segunda posição após o 1º.
• CÉ a primeira carta após apenas 1 embaralhamento (resto 1, erro no resto).
• DÉ a primeira carta após 3 embaralhamentos, não após 2.

Assunto: Sequências e padrões.

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