Questão 19 (Nível 3) da OBMEP 2012

Question

André partiu de Pirajuba, foi até Quixajuba e voltou sem parar, com velocidade constante. Simultaneamente, e pela mesma estrada, Júlio partiu de Quixajuba, foi até Pirajuba e voltou, também sem parar e com velocidade constante. Eles se encontraram pela primeira vez a 70 km de Quixajuba e uma segunda vez a 40 km de Pirajuba, quando ambos voltavam para sua cidade de origem. Quantos quilômetros tem a estrada de Quixajuba a Pirajuba?

A
120
B
145
C
150
D
170
E
180

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 19 (Nível 3) da OBMEP 2012

Nível 3 · Matemática: Razões especiais: velocidade, densidade e vazão

André partiu de Pirajuba, foi até Quixajuba e voltou sem parar, com velocidade constante. Simultaneamente, e pela mesma estrada, Júlio partiu de Quixajuba, foi até Pirajuba e voltou, também sem parar e com velocidade constante. Eles se encontraram pela primeira vez a 70 km de Quixajuba e uma segunda vez a 40 km de Pirajuba, quando ambos voltavam para sua cidade de origem. Quantos quilômetros tem a estrada de Quixajuba a Pirajuba?

A
120
B
145
C
150
D
170
E
180

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Seja x a distância entre P e Q, em km. O primeiro encontro entre André e Júlio ocorreu quando André tinha percorrido x - 70\text{ km} e Júlio, 70\text{ km} (figura 1). O segundo encontro ocorreu quando André tinha percorrido x + (x - 40) = 2x - 40\text{ km} e Júlio, x + 40\text{ km} (figura 2). Em cada um dos casos, eles levam o mesmo tempo para fazer esses percursos. Logo, representando por v_1 e v_2 as velocidades de André e Júlio, respectivamente, temos:

[Figura 1: Segmento de reta com extremidades P e Q e um ponto intermediário de encontro. Acima do segmento, uma seta orientada de P para a direita com a indicação x - 70. Abaixo, uma seta orientada de Q para a esquerda com a indicação 70.]

[Figura 2: Segmento de reta com extremidades P e Q e um ponto intermediário de encontro. Na parte superior, uma linha de percurso que vai de P até Q (indicada por x) e retorna para a esquerda até o ponto de encontro (indicada por x - 40). Na parte inferior, uma linha de percurso de Q até P (indicada por x) e retorno para a direita até o ponto de encontro (com a indicação 40).]

tempo até o 1^o encontro: \dfrac{x - 70}{v_1} = \dfrac{70}{v_2}
tempo até o 2^o encontro: \dfrac{2x - 40}{v_1} = \dfrac{x + 40}{v_2}

Dividindo as equações membro a membro, obtemos \dfrac{x - 70}{2x - 40} = \dfrac{70}{x + 40}. Isso leva à equação x^2 - 170x = 0, cujas raízes são x = 0 e x = 170. Como Pirajuba e Quixajuba estão separadas por pelo menos 70 km, a raiz apropriada é x = 170\text{ km}.

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Resolução comentada

Seja d a distância entre as cidades. Como as velocidades são constantes, a razão entre as distâncias percorridas por André e Júlio é a mesma em qualquer instante em que partiram juntos e se encontraram.

Primeiro encontro: juntos, os dois percorreram d. Júlio saiu de Quixajuba e andou 70 km, então André andou d-70.

Segundo encontro: juntos, os dois percorreram 3d (cada um foi até a outra cidade e está voltando, então a soma é d+2d). Como o tempo até aqui é o triplo do tempo até o primeiro encontro, cada um andou o triplo do que andou antes.

Júlio andou 3\cdot 70 = 210 km.
Júlio foi até Pirajuba (d) e voltou até o ponto a 40 km de Pirajuba, ou seja, andou d + 40.
Igualando: d + 40 = 210, logo d = 170.

Conferindo com André: no primeiro encontro andou 170-70=100 km; no segundo, 300 km. André foi até Quixajuba (170) e voltou 130 km, ficando a 170-130=40 km de Pirajuba. Confere.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

ANão corresponde a nenhuma relação das distâncias; com d=120 Júlio andaria d+40=160\neq210.
BValor sem relação com as condições; d+40 daria 185, diferente de 210.
CCom d=150, Júlio andaria 190 km, e não os 210 km exigidos pelo triplo de 70.
ECom d=180, Júlio andaria 220 km, não 210.

Assunto: Razões especiais: velocidade, densidade e vazão.

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Questão 19 no caderno Nível 3 da OBMEP 2012

Fonte: OBMEP 2012 · Nível 3. Prova oficial ↗