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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 18 (Nível 3) da OBMEP 2012

Nível 3 · Matemática: Permutações

Seis amigos, entre eles Alice e Bernardo, vão jantar em uma mesa triangular, cujos lados têm 2, 3 e 4 lugares, como na figura. De quantas maneiras esses amigos podem sentar-se à mesa de modo que Alice e Bernardo fiquem juntos e em um mesmo lado da mesa?

Mesa triangular com nove cadeiras dispostas ao redor de seus lados: duas cadeiras verdes em um lado, três laranjas em outro lado e quatro azuis no lado frontal.

  1. A
    288
  2. B
    6720
  3. C
    10080
  4. D
    15120
  5. E
    60480
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Resolução comentada

Resolução comentada

A mesa tem 2+3+4=9 lugares, e sentam-se 6 amigos. Cada lugar fica em um único lado, sem lugares compartilhados nos cantos, como mostra a figura. Alice e Bernardo precisam ocupar lugares vizinhos no mesmo lado.

Primeiro, contamos os pares de lugares vizinhos (adjacentes) em cada lado:

  • lado de 2 lugares: 1 par;
  • lado de 3 lugares: 2 pares;
  • lado de 4 lugares: 3 pares.

O total é 1+2+3=6 pares de lugares vizinhos.

Em cada par, Alice e Bernardo podem trocar de posição: 2 maneiras. Logo, para colocar os dois temos 6\cdot 2=12 maneiras.

Sobram 7 lugares livres e 4 amigos para distribuir. O primeiro escolhe entre 7 lugares, o segundo entre 6, o terceiro entre 5 e o quarto entre 4:

7\cdot6\cdot5\cdot4=840

Pelo princípio multiplicativo:

12\cdot 840=10080

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AConta só a posição de Alice e Bernardo e arranjos incompletos dos outros, ficando muito pequeno.
  • BUsa 8\cdot840 ou outro número de pares errado, em vez de 12 maneiras para o casal.
  • DDistribui os 4 amigos restantes de modo incorreto (como 9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5), ignorando que 2 lugares já foram usados.
  • EIgnora a restrição de Alice e Bernardo ficarem juntos, contando todos os arranjos de 6 em 9 lugares.

Assunto: Permutações.

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Ver como caiu na prova Questão 18 no caderno Nível 3 da OBMEP 2012

Fonte: OBMEP 2012 · Nível 3. Prova oficial ↗