Questão 20 (Nível 3) da OBMEP 2012

Question

Pedro vai participar de um programa de prêmios em que há uma urna contendo quatro bolas com valores diferentes e desconhecidos por ele, que serão sorteadas uma a uma até que ele decida ficar com uma delas. Ele observa o valor das duas primeiras bolas sorteadas e as descarta. Se o valor da terceira bola sorteada for maior que os das duas primeiras, ele ficará com ela e, caso contrário, ficará com a bola que restou. Qual é a probabilidade de Pedro ficar com a bola de maior valor?

A
\dfrac{1}{4}
B
\dfrac{1}{3}
C
\dfrac{3}{8}
D
\dfrac{5}{12}
E
\dfrac{1}{2}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 20 (Nível 3) da OBMEP 2012

Nível 3 · Matemática: Probabilidade: conceitos básicos

Pedro vai participar de um programa de prêmios em que há uma urna contendo quatro bolas com valores diferentes e desconhecidos por ele, que serão sorteadas uma a uma até que ele decida ficar com uma delas. Ele observa o valor das duas primeiras bolas sorteadas e as descarta. Se o valor da terceira bola sorteada for maior que os das duas primeiras, ele ficará com ela e, caso contrário, ficará com a bola que restou. Qual é a probabilidade de Pedro ficar com a bola de maior valor?

A
\dfrac{1}{4}
B
\dfrac{1}{3}
C
\dfrac{3}{8}
D
\dfrac{5}{12}
E
\dfrac{1}{2}

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Numeramos as quatro bolinhas de 1 a 4, do menor para o maior valor. Há 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 ordens possíveis para a retirada das bolinhas, todas igualmente prováveis. Dessas retiradas, Pedro fica com o prêmio de maior valor nos seguintes casos:

a bolinha 4 sai na 3^a retirada; neste caso, seu número é necessariamente maior que os das duas primeiras;
a bolinha 4 sai na 4^a retirada, desde que a bolinha 3 saia em uma das duas primeiras retiradas (caso contrário, ou seja, se ela sair na 3^a retirada, Pedro ficará com ela, por seu número ser maior que o das duas primeiras).

O número de possibilidades para o primeiro caso é 3 \times 2 \times 1 = 6. Para o segundo caso, há 2 possibilidades para a posição em que sai a bolinha 3 (1^a ou 2^a), 2 possibilidade para a bolinha que sai na 3^a posição e 1 possibilidade para a bolinha que sai na 4^a retirada, num total de 2 \times 2 \times 1 = 4 possibilidades. Logo, o número de casos favoráveis é 6 + 4 = 10 e a probabilidade de que Pedro tire o prêmio de maior valor é \dfrac{10}{24} = \dfrac{5}{12}.

Outra solução é como segue. Pedro tira o prêmio máximo em duas situações: quando a bolinha 4 sai na 3^a posição ou quando ela sai na 4^a posição e a bolinha 3 sai em uma das duas primeiras. A probabilidade do primeiro evento é \dfrac{1}{4} e a do segundo é \dfrac{1}{4} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{6}. Logo, a probabilidade de ele tirar o prêmio máximo é \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{12}.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

Como os valores são diferentes, podemos representar as bolas por 1, 2, 3 e 4, em ordem crescente. Todas as ordens de sorteio são igualmente prováveis. Pedro só consegue escolher a maior bola se ela aparecer na terceira ou na quarta posição, pois as duas primeiras são descartadas.

A maior bola aparece na terceira posição. Isso tem probabilidade \frac{1}{4}. Nesse caso, ela supera as duas anteriores e Pedro fica com ela, acertando sempre.
A maior bola aparece na quarta posição. Isso também tem probabilidade \frac{1}{4}. Para chegar até ela, Pedro precisa descartar a terceira bola. Entre as três primeiras, cada posição tem a mesma chance de conter o maior valor. Portanto, a terceira supera as duas anteriores com probabilidade \frac{1}{3} e é descartada com probabilidade \frac{2}{3}.

Como esses dois casos não podem acontecer juntos, somamos suas probabilidades:

P=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{3}{12}+\frac{2}{12}=\frac{5}{12}.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa E engana porque a maior bola tem probabilidade de 1/2 de estar nas duas últimas posições, mas isso não garante que Pedro a escolha.

Por que as outras alternativas estão erradas

AConta apenas o caso em que a maior bola aparece na terceira posição.
BNão corresponde à soma das probabilidades dos dois casos em que Pedro escolhe a maior bola.
CSubestima a probabilidade ao contabilizar incorretamente os casos de vitória.
EConta a presença da maior bola nas duas últimas posições como garantia de vitória, mas Pedro pode parar antes dela.

Assuntos: Probabilidade: conceitos básicos, Permutações.

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Questão 20 no caderno Nível 3 da OBMEP 2012

Fonte: OBMEP 2012 · Nível 3. Prova oficial ↗