Questão 15 (Nível 2) da OBMEP 2012

Question

A figura mostra um retângulo de área 720\ \text{cm}^2, formado por nove retângulos menores e iguais. Qual é o perímetro, em centímetros, de um dos retângulos menores?

Retângulo dividido horizontalmente em duas faixas: a superior contendo 5 retângulos menores congruentes lado a lado, e a inferior contendo 4 retângulos menores congruentes lado a lado.

A
20
B
24
C
30
D
36
E
48

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 15 (Nível 2) da OBMEP 2012

Nível 2 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

A figura mostra um retângulo de área 720\ \text{cm}^2, formado por nove retângulos menores e iguais. Qual é o perímetro, em centímetros, de um dos retângulos menores?

Retângulo dividido horizontalmente em duas faixas: a superior contendo 5 retângulos menores congruentes lado a lado, e a inferior contendo 4 retângulos menores congruentes lado a lado.

A
20
B
24
C
30
D
36
E
48

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Sejam x e y, respectivamente, as medidas do lado menor e do lado maior de um dos retângulos menores. As medidas dos dois lados do retângulo maior são então x+y e 4x=5y; em particular, temos y=\frac{4}{5}x. Como a área do retângulo maior é 720 \text{cm}^2, temos 5x(x+y)=5x\left(x+\frac{5}{4}x\right)=\frac{45}{4}x^2=720. Logo x=8 e y=10; o perímetro de um dos retângulos menores é então 2\cdot(8+10)=36\text{ cm}.

[Figura: Um retângulo maior dividido em duas faixas horizontais. A faixa superior é formada por 5 retângulos menores verticais de altura y, com a largura total indicada por uma seta com a medida 5x. A faixa inferior é formada por 4 retângulos menores de altura x, com a largura total indicada por uma seta com a medida 4y. Na lateral esquerda, há setas indicando as alturas y para a faixa superior e x para a faixa inferior.]

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

Chame de x o lado menor e de y o lado maior de cada retângulo pequeno.

Na figura, os retângulos de cima estão em pé: a largura de cada um é x e são 5 lado a lado, então o comprimento total é 5x. Os de baixo estão deitados: a largura de cada um é y e são 4, então o comprimento total é 4y.

Os dois comprimentos são iguais, pois formam o mesmo retângulo grande:

5x = 4y \Rightarrow y = \frac{5x}{4}

A área total é a de 9 retângulos iguais:

9xy = 720 \Rightarrow xy = 80
Substituindo y: x\cdot\frac{5x}{4}=80 \Rightarrow x^2 = 64 \Rightarrow x = 8\ \text{cm}
y = \frac{5\cdot 8}{4} = 10\ \text{cm}

O perímetro de um retângulo pequeno é

2(x+y) = 2(8+10) = 36\ \text{cm}

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor sem relação com as medidas 8 e 10; não vem de nenhum cálculo correto.
BNão corresponde a 2(x+y) com x=8 e y=10.
CNão corresponde ao perímetro dos lados encontrados; provavelmente erro ao relacionar os lados.
EValor sem relação com as medidas encontradas; não é 2(8+10).

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 15 no caderno Nível 2 da OBMEP 2012

Fonte: OBMEP 2012 · Nível 2. Prova oficial ↗