Questão 14 (Nível 2) da OBMEP 2012

Question

Fazendo oito cortes em um cubo, perto de seus vértices, obtemos um sólido com 14 faces, que numeramos de 1 a 14. Na figura observamos esse sólido sob dois pontos de vista diferentes. Qual é o número da face oposta à face de número 13?

Perspectiva do sólido truncado mostrando a face quadrada central 13 circundada pelas faces 14, 1, 10, 8, 3 e 4

A
5
B
6
C
7
D
11
E
12

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 14 (Nível 2) da OBMEP 2012

Nível 2 · Matemática: Vistas, projeções e planificações

Fazendo oito cortes em um cubo, perto de seus vértices, obtemos um sólido com 14 faces, que numeramos de 1 a 14. Na figura observamos esse sólido sob dois pontos de vista diferentes. Qual é o número da face oposta à face de número 13?

Perspectiva do sólido truncado mostrando a face quadrada central 13 circundada pelas faces 14, 1, 10, 8, 3 e 4

A
5
B
6
C
7
D
11
E
12

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Primeiro observamos que o sólido obtido depois dos cortes possui seis faces octogonais (de oito lados) e oito faces triangulares. Cada face octogonal é adjacente (isto é, tem uma aresta comum com) a três outras faces octogonais e oposta a outra face octogonal; além disso, cada face triangular é adjacente a três faces octogonais que são duas a duas adjacentes.

[Figura: Duas vistas de um cubo com os vértices truncados exibindo faces octogonais e triangulares numeradas; à esquerda, a face octogonal central tem o número 13, adjacente às faces 14, 4, 3, 8, 10 e 1; à direita, a face octogonal central tem o número 11, adjacente às faces 8, 3, 7, 2, 12 e 5.]

À esquerda vemos que a face octogonal 13 é adjacente às faces octogonais 14 e 10. À direita vemos que a face triangular 3 é adjacente às faces 7, 11 e 13; assim, as faces 11 e 7 também são adjacentes à face 13. Logo as quatro faces octogonais adjacentes à face 13 são as de números 7, 10, 11 e 14, e segue que a face oposta à face 13 é a de número 12.

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Resolução comentada

Os oito cortes criam oito faces triangulares, uma em cada vértice. As seis faces originais do cubo continuam existindo, mas ficam com os cantos cortados. A face oposta à 13 deve ser uma dessas seis faces, e não um dos triângulos.

Comparando as duas vistas, as faces que vieram das faces do cubo são 7, 10, 11, 12, 13 e 14. Para descobrir a oposta à 13, identificamos suas quatro vizinhas:

14 e 10: aparecem compartilhando lados com a face 13 na primeira vista.
11: as faces 13 e 11 encostam nos mesmos triângulos 3 e 8. Esses triângulos correspondem às duas extremidades de uma aresta original do cubo; portanto, 13 e 11 são vizinhas.
7: na segunda vista, o triângulo 3 fica entre a face 11, a face 7 e uma terceira face. Pela primeira vista, essa terceira face é a 13. Assim, 7 também é vizinha de 13.

Uma face do cubo tem quatro faces vizinhas e uma oposta. Como as vizinhas de 13 são 14, 10, 11 e 7, sobra a face 12.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

AA face 5 é triangular, criada por um corte, e não pode ser oposta à face 13.
BA face 6 é uma das faces triangulares, não uma das seis faces originais do cubo.
CA face 7 é vizinha da face 13, como mostra a posição do triângulo 3.
DA face 11 é vizinha da face 13; os triângulos 3 e 8 marcam as extremidades da aresta comum.

Assunto: Vistas, projeções e planificações.

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Questão 14 no caderno Nível 2 da OBMEP 2012

Fonte: OBMEP 2012 · Nível 2. Prova oficial ↗