Questão 13 (Nível 3) da OBMEP 2012

Question

Para fazer várias blusas iguais, uma costureira gastou R$ 2,99 para comprar botões de 4 centavos e laços de 7 centavos. Ela usou todos os botões e laços que comprou. Quantas blusas ela fez?

A
2
B
5
C
10
D
13
E
23

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 13 (Nível 3) da OBMEP 2012

Nível 3 · Matemática: Divisibilidade, MMC e MDC

Para fazer várias blusas iguais, uma costureira gastou R$ 2,99 para comprar botões de 4 centavos e laços de 7 centavos. Ela usou todos os botões e laços que comprou. Quantas blusas ela fez?

A
2
B
5
C
10
D
13
E
23

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

A costureira gastou 299 centavos. Como as blusas são iguais, em cada uma foi gasta a mesma quantia; logo, o número n de blusas é um divisor de 299. Como 299 = 13 \times 23 e tanto 13 quanto 23 são primos, as possibilidades para n são 1, 13, 23 e 299. O enunciado exclui a possibilidade n = 1 (são várias blusas) e a possibilidade n = 299 é excluída observando que, como um botão custa 4 centavos, a quantia gasta em qualquer blusa é maior que 1 centavo. Se n = 23 , o total em botões e laços gasto em cada blusa seria 13 centavos, o que não pode acontecer pois não é possível gastar exatamente 13 centavos com botões de 4 centavos e laços de 7 centavos. Resta a possibilidade n = 13 ; nesse caso, o total gasto em botões e laços em cada blusa é de 23 centavos, que corresponde a 4 botões e 1 laço.

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Resolução comentada

Cada blusa leva b botões e l laços, e todas são iguais. Se ela fez n blusas, o gasto total em centavos é

n\,(4b+7l)=299.

Logo n é um divisor de 299. Fatorando, 299 = 13 \cdot 23, então os divisores são 1, 13, 23 e 299. Entre as alternativas, só 13 e 23 servem.

Agora o custo de uma blusa, 4b+7l=\dfrac{299}{n}, precisa ser possível com b e l inteiros.

Se n=23: 4b+7l=13. Testando l=1, 4b=6 (não dá); l=0, 4b=13 (não dá). Não há solução.
Se n=13: 4b+7l=23. Com l=1, 4b=16, então b=4. Funciona.

Conferindo: cada blusa custa 4\cdot4+7\cdot1=23 centavos, e 13\cdot23=299 centavos, ou seja, R$ 2,99.

Portanto ela fez 13 blusas.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa E engana: 23 também divide 299, mas o custo por blusa seria 13 centavos, impossível com botões de 4 e laços de 7.

Por que as outras alternativas estão erradas

A2 não divide 299, então o gasto total não seria R$ 2,99.
B5 não divide 299.
C10 não divide 299.
E23 divide 299, mas exigiria 4b+7l=13, que não tem solução inteira não negativa.

Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.

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Questão 13 no caderno Nível 3 da OBMEP 2012

Fonte: OBMEP 2012 · Nível 3. Prova oficial ↗