Questão 13 (Nível 2) da OBMEP 2012

Resolução comentada

Chame as alturas de A, B, C e D. Sabemos que D > C.

A diferença entre as alturas de Célia e Ana é igual à diferença entre as de Ana e Danilo. Em módulo: |C-A| = |A-D|. Há duas possibilidades:

• C-A = A-D, ou seja, A é o ponto médio de C e D. Isso ainda é compatível com D>C.
• C-A = -(A-D), ou seja, C = D, o que contradiz D>C. Está descartada.

Logo, A = \dfrac{C+D}{2}: Ana tem altura intermediária entre Célia e Danilo, então C < A < D.

A segunda informação diz que a soma dos rapazes é igual à soma das garotas:

Portanto B = A + C - D. Como A = \dfrac{C+D}{2}, vem

Como D>C, temos B < C. Assim, a ordem é B < C < A < D.

Vamos testar as alternativas:

• (A) falsa, pois Ana é mais alta que Célia, e não o contrário.
• (B) D-B contra A-C: $D-B = D-A-C+D... $ Usando B = A + C - D, temos D-B = 2D - A - C e A-C = \dfrac{D-C}{2}. Não são iguais, pois D-C>0.
• (C) falsa, pois Bernardo é o mais baixo.
• (D) D-C contra A-B: A-B = A-(A+C-D) = D-C. São iguais. Verdadeira.
• (E) falsa, pois Danilo é mais alto que Ana.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AAna está entre Célia e Danilo, mais alta que Célia, mas a afirmação diz o contrário.
• BAs diferenças são D-B=2D-A-C e A-C=(D-C)/2, que só seriam iguais se D=C.
• CBernardo é o mais baixo, pois B=(3C-D)/2<C.
• EDanilo é mais alto que Ana, pois Ana é o ponto médio entre Célia e Danilo.

Assunto: Equações do 1º grau e problemas.

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