Questão 14 (Nível 1) da OBMEP 2012

Question

Juliana cortou uma tira de papel de 4\text{ cm} por 12\text{ cm} e a dobrou do modo indicado na figura, obtendo assim um quadrado. Em seguida, ela cortou o quadrado diagonalmente, como mostra a figura. Com os pedaços obtidos, ela montou dois novos quadrados. Qual é a diferença entre as áreas desses quadrados?

Tira de papel retangular dividida em três partes iguais por linhas pontilhadas Quadrado sendo cortado na diagonal por uma tesoura

Papel sendo dobrado com setas indicando o processo

A
9\text{ cm}^2
B
12\text{ cm}^2
C
16\text{ cm}^2
D
18\text{ cm}^2
E
32\text{ cm}^2

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 14 (Nível 1) da OBMEP 2012

Nível 1 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Juliana cortou uma tira de papel de 4\text{ cm} por 12\text{ cm} e a dobrou do modo indicado na figura, obtendo assim um quadrado. Em seguida, ela cortou o quadrado diagonalmente, como mostra a figura. Com os pedaços obtidos, ela montou dois novos quadrados. Qual é a diferença entre as áreas desses quadrados?

Tira de papel retangular dividida em três partes iguais por linhas pontilhadas Quadrado sendo cortado na diagonal por uma tesoura

Papel sendo dobrado com setas indicando o processo

A
9\text{ cm}^2
B
12\text{ cm}^2
C
16\text{ cm}^2
D
18\text{ cm}^2
E
32\text{ cm}^2

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

[Figura: À direita, uma tira retangular formada por três quadrados adjacentes com linhas pontilhadas: uma diagonal descendo no primeiro quadrado, uma diagonal subindo no segundo quadrado e uma descendo no terceiro quadrado. Abaixo, dois triângulos: o triângulo A, que é um triângulo retângulo isósceles, e o triângulo B, que é um triângulo retângulo isósceles de base maior, formado por dois triângulos do tipo A.]

A figura ao lado mostra a folha aberta, com os cortes determinados na tira em pontilhado. A tira fica dividida em quatro triângulos, dois do tipo A e dois do tipo B. Como um triângulo do tipo B é formado por dois triângulos do tipo A, a tira fica dividida em seis triângulos do tipo A. Por outro lado, a tira tem área 4 \times 12 = 48\text{ cm}^2, e segue que a área de um triângulo do tipo A tem área \frac{48}{6} = 8\text{ cm}^2. Um dos novos quadrados é formado pelos dois triângulos do tipo A e o outro é formado pelos dois triângulos do tipo B; a diferença entre as áreas desses quadrados é então igual à área de dois triângulos do tipo A, que é 2 \times 8 = 16\text{ cm}^2.

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Resolução comentada

A tira de 4\text{ cm} por 12\text{ cm} está dividida em três quadrados de 4\text{ cm} de lado. Dobrando nas linhas pontilhadas, as três partes ficam empilhadas e formam um quadrado de 4\text{ cm} de lado, com três camadas de papel.

Cortando esse quadrado na diagonal, cada camada gera 2 triângulos. Como são 3 camadas, obtemos 3\times 2=6 triângulos retângulos isósceles, com catetos de 4\text{ cm}.

Cada triângulo tem área:

\frac{4\cdot 4}{2}=8\text{ cm}^2

A área total de papel é 12\times 4=48\text{ cm}^2, que equivale a 6\times 8=48\text{ cm}^2.

Agora, os dois novos quadrados:

Com 4 triângulos, junta-se os lados de modo que as hipotenusas fiquem no contorno: o quadrado tem lado igual à hipotenusa, 4\sqrt{2}\text{ cm}, e área 32\text{ cm}^2 (4 triângulos de 8).
Com os 2 triângulos restantes, une-se pelas hipotenusas e forma-se um quadrado de lado 4\text{ cm}, com área 16\text{ cm}^2 (2 triângulos de 8).

A soma é 32+16=48\text{ cm}^2, igual à área total, o que confere.

Diferença entre as áreas:

32-16=16\text{ cm}^2

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa E engana ao trazer 32\text{ cm}^2, a área do quadrado maior, em vez da diferença pedida.

Por que as outras alternativas estão erradas

ANão corresponde a nenhuma combinação correta das áreas 32 e 16.
BValor sem relação com as áreas dos quadrados formados (32 e 16).
DResulta de dividir os 6 triângulos em grupos errados, sem usar 4 e 2 triângulos.
EÉ a área do quadrado maior, não a diferença entre as áreas.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 14 no caderno Nível 1 da OBMEP 2012

Fonte: OBMEP 2012 · Nível 1. Prova oficial ↗