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Questão 15 (Nível 1) da OBMEP 2012

Nível 1 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Amanda, Bianca e Carolina são amigas e têm idades diferentes. Sabe-se que, das sentenças a seguir, exatamente uma é verdadeira.

I. Amanda e Carolina são mais jovens que Bianca.
II. Amanda é mais velha que Bianca.
III. Amanda é mais velha que Bianca e Carolina.
IV. Amanda não é nem a mais nova nem a mais velha das amigas.

Qual das alternativas mostra o nome das três amigas em ordem crescente de idade?

  1. A
    Amanda, Bianca, Carolina
  2. B
    Carolina, Bianca, Amanda
  3. C
    Bianca, Carolina, Amanda
  4. D
    Carolina, Amanda, Bianca
  5. E
    Amanda, Carolina, Bianca
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Resolução comentada

Resolução comentada

Vamos testar cada ordem possível (crescente de idade, do mais novo ao mais velho) e contar quantas sentenças são verdadeiras. Queremos exatamente uma.

Observe que III implica II (se Amanda é mais velha que Bianca e Carolina, é mais velha que Bianca). Então, se III fosse a verdadeira, II também seria, e teríamos duas verdadeiras. Logo III é falsa, e II também não pode ser a única... vamos conferir cada alternativa:

  1. (A) Amanda, Bianca, Carolina: I é falsa (Amanda é a mais nova, Carolina é a mais velha); II é falsa; III é falsa; IV é falsa (Amanda é a mais nova). Zero verdadeiras.
  2. (B) Carolina, Bianca, Amanda: I falsa; II verdadeira; III verdadeira; já temos duas. Não serve.
  3. (C) Bianca, Carolina, Amanda: II e III verdadeiras. Não serve.
  4. (D) Carolina, Amanda, Bianca: I falsa (Amanda é mais nova que Bianca, mas Carolina também; Bianca é a mais velha, então I é verdadeira!). Corrigindo: Amanda e Carolina são mais jovens que Bianca, logo I é verdadeira. II falsa; III falsa; IV verdadeira (Amanda é a do meio). Duas verdadeiras. Não serve.
  5. (E) Amanda, Carolina, Bianca: I verdadeira (Bianca é a mais velha); II falsa; III falsa; IV falsa (Amanda é a mais nova). Exatamente uma verdadeira.

Só a ordem da alternativa E satisfaz a condição.

Alternativa E.

Pegadinha: A sentença III implica a II, então ambas são verdadeiras juntas; quem não percebe isso pode aceitar B ou C. Em D, é fácil esquecer que a sentença I também é verdadeira.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ANessa ordem as quatro sentenças são falsas, e o enunciado exige exatamente uma verdadeira.
  • BTorna II e III verdadeiras ao mesmo tempo, ou seja, duas verdadeiras.
  • CTambém torna II e III verdadeiras, dando mais de uma sentença verdadeira.
  • DTorna I e IV verdadeiras (Bianca é a mais velha e Amanda fica no meio), duas verdadeiras.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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Ver como caiu na prova Questão 15 no caderno Nível 1 da OBMEP 2012

Fonte: OBMEP 2012 · Nível 1. Prova oficial ↗