Questão 12 (Nível 3) da OBMEP 2012

Question

A figura mostra um trapézio ABCD de bases AB e CD; o ponto E é o ponto de encontro de suas diagonais. Os triângulos ABE e CDE têm áreas a e b, respectivamente. Qual é a área do trapézio?

Trapézio ABCD com diagonais AC e BD que se interceptam no ponto E, destacando em cinza os triângulos ABE e CDE.

A
2\left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)^2
B
\dfrac{3}{2}(a + b)
C
\left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)^2
D
2(a + b)
E
\sqrt{ab}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 (Nível 3) da OBMEP 2012

Nível 3 · Matemática: Semelhança e Teorema de Tales

A figura mostra um trapézio ABCD de bases AB e CD; o ponto E é o ponto de encontro de suas diagonais. Os triângulos ABE e CDE têm áreas a e b, respectivamente. Qual é a área do trapézio?

Trapézio ABCD com diagonais AC e BD que se interceptam no ponto E, destacando em cinza os triângulos ABE e CDE.

A
2\left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)^2
B
\dfrac{3}{2}(a + b)
C
\left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)^2
D
2(a + b)
E
\sqrt{ab}

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Solução oficial da OBMEP

[Figura: Trapézio ABCD com base maior inferior AB e base menor superior CD. As diagonais AC e BD se cruzam no ponto E. Os triângulos superior CDE e inferior ABE estão sombreados em cinza com as letras b e a no interior, respectivamente. Os triângulos laterais ADE e BCE são brancos.]

Vamos denotar por (ABC) a área do triângulo ABC, e analogamente para outros triângulos. Primeiro observamos que (ABD) = (ABC), pois esses triângulos têm a mesma altura e a base AB comum. Logo (AED) = (ABD) - (ABE) = (ABC) - (ABE) = (BCE), ou seja, os dois triângulos brancos na figura têm a mesma área, que denotamos por x.

Por outro lado, como os triângulos AED e ECD têm a mesma altura relativa às bases AE e EC, temos \frac{x}{b} = \frac{(AED)}{(DCE)} = \frac{AE}{EC} e, analogamente, temos \frac{a}{x} = \frac{(ABE)}{(BCE)} = \frac{AE}{EC}. Logo \frac{a}{x} = \frac{x}{b}, donde x = \sqrt{ab}.

Finalmente, a área do trapézio é dada por a + 2x + b = a + 2\sqrt{ab} + b = \left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)^2.

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Resolução comentada

Como AB \parallel CD, os triângulos ABE e CDE são semelhantes (ângulos alternos internos iguais e ângulos opostos pelo vértice em E). A razão de áreas é o quadrado da razão de semelhança k:

\frac{a}{b}=k^2 \Rightarrow k=\frac{AE}{CE}=\frac{BE}{DE}=\sqrt{\frac{a}{b}}.

Agora calculamos os outros dois triângulos, ADE e BCE. Eles têm a mesma área, pois ABD e ABC têm mesma base AB e mesma altura (as bases são paralelas); retirando o triângulo comum ABE, sobram ADE e BCE com áreas iguais.

Os triângulos ADE e CDE têm o mesmo vértice D, e suas bases AE e CE ficam na mesma reta AC, então têm a mesma altura. Logo a razão das áreas é a razão das bases:

\frac{\text{área}(ADE)}{b}=\frac{AE}{CE}=\sqrt{\frac{a}{b}}.

Portanto:

\text{área}(ADE)=b\sqrt{\frac{a}{b}}=\sqrt{ab}.

A área do trapézio é a soma dos quatro triângulos:

a+b+\sqrt{ab}+\sqrt{ab}=a+2\sqrt{ab}+b=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

ADobra o resultado correto sem justificativa; o trapézio tem área (\sqrt a+\sqrt b)^2, não o dobro.
BNão decorre de nenhuma relação; ignora que os triângulos laterais valem \sqrt{ab} cada.
DSupõe que os dois triângulos laterais somam a+b, o que só vale se a=b.
EUsa só a área de um triângulo lateral, esquecendo os demais.

Assunto: Semelhança e Teorema de Tales.

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Questão 12 no caderno Nível 3 da OBMEP 2012

Fonte: OBMEP 2012 · Nível 3. Prova oficial ↗