Questão 11 (Nível 3) da OBMEP 2012

Resolução comentada

Chame de v a velocidade do trem rápido e de w a do lento, ambas em km/min.

Condição 1: o lento gasta 5 min a mais para percorrer 6 km. Tempo = distância ÷ velocidade, então:

Condição 2: em 20 min, o lento anda 4 km a menos. Distância = velocidade × tempo, então:

Portanto w=v-\frac15.

Substituindo na primeira condição:

1. \dfrac{6(v-w)}{vw}=5
2. Como v-w=\frac15: \dfrac{6/5}{vw}=5, logo vw=\dfrac{6}{25}.
3. Com w=v-\frac15: v^2-\frac{v}{5}=\frac{6}{25}.
4. Multiplicando por 25: 25v^2-5v-6=0.
5. \Delta=25+600=625, então v=\dfrac{5+25}{50}=\dfrac{3}{5} km/min (a raiz negativa não serve).

Convertendo para km/h: \dfrac35\cdot 60=36 km/h.

Conferindo: o lento tem w=\frac35-\frac15=\frac25 km/min. Ele leva 6\div\frac25=15 min para 6 km, e o rápido leva 6\div\frac35=10 min, diferença de 5 min. Em 20 min, o rápido anda 12 km e o lento 8 km, diferença de 4 km. Tudo certo.

Alternativa E.

Pegadinha: Misturar unidades: as condições vêm em minutos e a resposta em km/h; esquecer de multiplicar por 60 daria 0,6, que não aparece, e erros de conversão levam a alternativas erradas.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AValor sem relação com as condições; não satisfaz a diferença de 5 min em 6 km.
• BNão satisfaz o sistema; com 27 km/h a diferença de distância em 20 min não seria 4 km com o tempo correto.
• CCom 30 km/h o lento teria 24 km/h e a diferença de tempo em 6 km seria 3 min, não 5.
• DCom 33 km/h o lento teria 21 km/h e a diferença de tempo em 6 km não seria 5 min.

Assunto: Razões especiais: velocidade, densidade e vazão.

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