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Questão 8 (Nível 3) da OBMEP 2011

Nível 3 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Tia Geralda sabe que um de seus sobrinhos Ana, Bruno, Cecília, Daniela ou Eduardo comeu todos os biscoitos. Ela também sabe que o culpado sempre mente e que os inocentes sempre dizem a verdade.

Ilustração de Tia Geralda com expressão zangada em frente a um pote aberto e vazio sobre uma mesa, enquanto seus cinco sobrinhos a observam sorrindo

  • Bruno diz: “O culpado é Eduardo ou Daniela.”
  • Eduardo diz: “O culpado é uma menina.”
  • Por fim, Daniela diz: “Se Bruno é culpado então Cecília é inocente.”

Quem comeu os biscoitos?

  1. A
    Ana
  2. B
    Bruno
  3. C
    Cecília
  4. D
    Daniela
  5. E
    Eduardo
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Só há um culpado, e ele mente; os outros quatro dizem a verdade. Vamos testar cada suspeito.

As três frases são:

  • Bruno: o culpado é Eduardo ou Daniela.
  • Eduardo: o culpado é uma menina.
  • Daniela: se Bruno é culpado, então Cecília é inocente.
  1. Culpado = Ana. Bruno é inocente e deveria falar a verdade, mas a frase dele é falsa (Ana não é Eduardo nem Daniela). Contradição.
  2. Culpado = Bruno. Bruno mentiria: de fato, ele não é Eduardo nem Daniela, então a frase é falsa, o que está certo. Eduardo é inocente e diz que o culpado é uma menina, mas Bruno é menino. Contradição.
  3. Culpado = Cecília. Bruno é inocente e sua frase é falsa. Contradição.
  4. Culpado = Daniela. Bruno diz a verdade, pois o culpado é Daniela. Eduardo diz a verdade, pois Daniela é menina. Mas Daniela, sendo culpada, deve mentir. A frase dela é "se Bruno é culpado, então Cecília é inocente". Como Bruno não é culpado, a condicional tem hipótese falsa e é verdadeira. Então ela diria a verdade. Contradição.
  5. Culpado = Eduardo. Bruno diz a verdade, pois o culpado é Eduardo. Eduardo mente: ele diz que o culpado é uma menina, e é falso, pois ele é menino. Daniela diz a verdade: a hipótese "Bruno é culpado" é falsa, então a condicional é verdadeira. Tudo consistente.

Só Eduardo satisfaz todas as condições.

Alternativa E.

Pegadinha: Alternativa D: a frase de Daniela é uma condicional com hipótese falsa, que é verdadeira, então ela não pode ser a mentirosa.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ASe Ana fosse culpada, a frase de Bruno (inocente) seria falsa, o que é impossível.
  • BSe Bruno fosse culpado, Eduardo (inocente) diria algo falso, pois Bruno é menino.
  • CSe Cecília fosse culpada, Bruno (inocente) estaria mentindo, o que é impossível.
  • DDaniela culpada deveria mentir, mas a condicional dela é verdadeira, pois Bruno não é culpado.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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Ver como caiu na prova Questão 8 no caderno Nível 3 da OBMEP 2011

Fonte: OBMEP 2011 · Nível 3. Prova oficial ↗