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Questão 14 (Nível 2) da OBMEP 2011

Nível 2 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Tia Geralda sabe que um de seus sobrinhos Ana, Bruno, Cecília, Daniela ou Eduardo comeu todos os biscoitos. Ela também sabe que o culpado sempre mente e que os inocentes sempre dizem a verdade.

Ilustração de Tia Geralda com expressão séria diante de um pote de biscoitos vazio sobre a mesa, enquanto seus cinco sobrinhos a observam sorrindo.

  • Bruno diz: “O culpado é Eduardo ou Daniela.”
  • Eduardo diz: “O culpado é uma menina.”
  • Por fim, Daniela diz: “Se Bruno é culpado então Cecília é inocente.”

Quem comeu os biscoitos?

  1. A
    Ana
  2. B
    Bruno
  3. C
    Cecília
  4. D
    Daniela
  5. E
    Eduardo
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Só um sobrinho é culpado: ele mente, e os outros quatro dizem a verdade. Vamos testar cada suspeito.

  1. Ana culpada: Bruno, Eduardo e Daniela são inocentes e falam a verdade. Bruno diz que o culpado é Eduardo ou Daniela, mas a culpada seria Ana. Contradição.

  2. Bruno culpado: ele mente, então o culpado não é Eduardo nem Daniela (o que é coerente). Eduardo é inocente e diz que o culpado é uma menina, mas Bruno é menino. Contradição.

  3. Cecília culpada: Bruno é inocente e diz que o culpado é Eduardo ou Daniela, mas seria Cecília. Contradição.

  4. Eduardo culpado: Bruno é inocente e diz "Eduardo ou Daniela", o que é verdade. Eduardo é culpado e mente: diz que o culpado é uma menina, e é falso, pois ele é menino. Coerente. Daniela é inocente e diz "se Bruno é culpado, então Cecília é inocente". Como Bruno não é culpado, a condição é falsa e a frase é verdadeira. Tudo confere.

  5. Daniela culpada: Bruno é inocente e sua frase é verdadeira. Eduardo é inocente e diz que o culpado é uma menina, e Daniela é menina, então é verdade. Mas Daniela, culpada, deveria mentir. Sua frase é verdadeira, pois Bruno não é culpado. Contradição.

Só o caso de Eduardo é consistente.

Alternativa E.

Pegadinha: Daniela parece suspeita porque Eduardo e Bruno a acusam, mas a frase condicional dela é verdadeira (antecedente falso), então ela não pode ser a mentirosa.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ASe Ana fosse culpada, a frase verdadeira de Bruno (Eduardo ou Daniela) seria falsa.
  • BSe Bruno fosse culpado, Eduardo, inocente, diria uma falsidade ao afirmar que o culpado é uma menina.
  • CSe Cecília fosse culpada, a frase de Bruno, inocente, seria falsa.
  • DDaniela culpada deveria mentir, mas sua frase condicional é verdadeira, pois Bruno não é culpado.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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Ver como caiu na prova Questão 14 no caderno Nível 2 da OBMEP 2011

Fonte: OBMEP 2011 · Nível 2. Prova oficial ↗