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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 (Nível 2) da OBMEP 2011

Nível 2 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Na figura, os lados do quadrado foram divididos em oito partes iguais. Qual é a razão entre a área cinza e a área desse quadrado?

Quadrado dividido em uma malha 8x8 de quadradinhos menores. Do centro do quadrado partem segmentos de reta até pontos de divisão nos lados do quadrado, formando regiões triangulares e quadrangulares nos cantos, intercalando cores cinza e clara. Em cada lado de 8 partes, as bases das regiões são alternadamente cinza (nos cantos, ocupando 1 parte de cada lado adjacente; e no meio de cada lado, ocupando 2 partes centrais) e claras (ocupando 2 partes entre cada região cinza).

  1. A
    \dfrac{1}{2}
  2. B
    \dfrac{3}{5}
  3. C
    \dfrac{5}{8}
  4. D
    \dfrac{3}{4}
  5. E
    1
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Do centro partem segmentos até os pontos de divisão dos lados. Cada região (cinza ou clara) é um triângulo com vértice no centro e base sobre um lado do quadrado (nos cantos, a região cinza é formada por dois triângulos de base 1, um em cada lado).

Todos os triângulos têm a mesma altura: a distância do centro ao lado, que é a metade do lado. Logo, a área de cada um é proporcional à sua base. Basta comparar os comprimentos das bases cinza com o perímetro.

Se o lado mede 8 partes, em cada lado a sequência de bases é: 1 (canto, cinza), 2 (clara), 2 (meio, cinza), 2 (clara), 1 (canto, cinza). Total: 1+2+2+2+1=8.

  1. Base cinza em cada lado: 1+2+1=4 partes.
  2. Base clara em cada lado: 2+2=4 partes.
  3. Razão: \dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}.

Como a altura é a mesma em todos os triângulos, a razão entre as áreas é igual à razão entre as bases: metade da área do quadrado é cinza.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BNão corresponde à razão das bases cinza (4 de 8); resulta de contar partes de forma errada.
  • CConta as bases cinza como 5 de 8, superestimando a parte cinza.
  • DConsidera 6 de 8 partes cinza, esquecendo que há 2 trechos claros de 2 partes por lado.
  • ESupõe que todo o quadrado seja cinza, ignorando as regiões claras.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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Ver como caiu na prova Questão 4 no caderno Nível 2 da OBMEP 2011

Fonte: OBMEP 2011 · Nível 2. Prova oficial ↗